【高等数学第3讲】无穷小与无穷大

第三章 无穷小与无穷大

无穷小理论是整个微积分的地基。

一、知识点

1. 大、小不谈正负（无穷大，无穷小）
2. 无穷小是误差的估计，是一个大于等于0的量。无穷小要么等于0，要么无限接近0.
3. 无穷小的定义：
   

   07:16

   
4. 无穷小并不是一个非常非常小的常数，无穷小表示的是无限接近，是误差的估计
5. 无穷小的本质是什么？——函数，而且是以0为极限的函数
6. 0是不是无穷小？从无穷小的本质来看，是。0是常函数，且是以0为极限的函数，所以0是无穷小。并且，0是最高阶无穷小。
7. 判断非0函数是否为无穷小，与自变量的趋向过程有关。
   

   12:02

   
8. 无穷小的等价定义(ε-δ）：
   

   13:40

   
9. 无穷小的性质：
   

   16:30

   
10. 两个无穷小的和或差仍是无穷小
11. 有限个无穷小的和或差仍是无穷小
12. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
13. 两个无穷小的乘积是无穷小
14. f(x)趋于a点的极限是A <=> 当x趋于点a时，f(x)=A+α,其中α->0.
15. 无穷大的定义：
    

    45:26

    
16. 无穷大并不是一个非常大非常大的常数，无穷大表示的是要多大有多大
17. 无穷小与无穷大的关系：
    

    52:39

    
    ，倒数关系

二、证明

1. 证明“两个无穷小的和或差仍是无穷小”：
   

   16:43

   
2. 证明“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”：
   

   22:24

   
3. 证明“两个无穷小的乘积是无穷小”：
   

   28:15

   
4. 证明“f(x)趋于a点的极限是A <=> 当x趋于点a时，f(x)=A+α,其中α->0”:
   

   32:15

   
5. 利用无穷大定义证明函数极限：
   

   48:10

   
6. 证明无穷小与无穷大的关系：
   

   53:51

   

三、计算

1. 已知一个函数的极限，求另一个函数的极限（使用无穷小的性质来解）：
   

   37:36