2008年江西卷（理）导数——双自由度问题

hello，大家好！

今天来研究一下史上最难的高考数学压轴题吧，网传其为2008年江西卷（理）的导数题。

先看题：

第一问，代入  后转化为研究函数  的单调性

求导得 ，然后就没什么好说的了，我们抓紧看第二问

第二问中， 和  都是大于零的自由变量，故这是一个双自由度的问题，在高等数学中常用偏导数研究，其大体原理就是先固定一个自由度 ，对第二个自由度  分析求得最值。显然该最值只与  相关，可以记为关于  的函数，于是只要再对这个函数求最值，即可求得原函数的最值

一个例题如图所示：

回到原问题：

自然，本题必然有及其巧妙的直接运用不等式的证明方法，网上也有许多。然而一般人确实不太好想到，那么我们不妨就运用导数来证明此题

由于 ，于是可将  看作一个整体，这样一来三项的形式完全相同，都为  的形式

于是命题转化为：

为方便后续工作，我们先对  排序，不妨令 ，则有

至于为什么排序，后面会揭晓

先固定  不动，研究  为定值时  的范围：

我们得到了前两项的最值，另外在此过程中也能发现开始时对三个变量排序的必要

我们继续：

可见，用导数做此题虽在逻辑上不那么复杂，但是在计算量还是非常大的，大家不妨再思考更简洁、更容易想到的证明方法

ok，就到这里了，感谢大家观看！

拜拜~