抛物线的平均性质（2022全国甲圆锥曲线）

（2022全国甲，20）已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于、两点，当直线垂直于轴时，.

（1）求的方程；

（2）设直线、与的另一个交点分别为、，记直线、的倾斜角分别为、.当取得最大值时，求直线的方程.

解：（1）当直线垂直于轴时，

令，可知，所以，

又因为，

所以，

解得.

所以的方程为.

（2）当直线的斜率不在时，易知直线的斜率也不存在，

此时，所以，

所以下面只需考虑的可能性.

如图，

设、，

、，

设直线的方程为，

与联立，得

，

所以，

所以，

所以.

所以

，

，

，

.

因为，且，

所以，即，

解得.

若，则，

则，

则；

若，则，

则，

则，

所以只考虑的情形.

由于在，

所以当最大时，最大.

当且仅当，即，取得最大值.

此时，直线的方程为，

整理得：.