【数学基础133】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（二）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&2.一阶微分方程

一阶微分方程——形如F（x，y，y'）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的一阶导数的方程。

&2.1分离变量的方程

分离变量的方程——形如dy/dx=f（x）=φ（x）/ψ（y）关系式。

方法——

1. 移项：φ（x）dx=ψ（y）dy；

2. 积分：∫φ（x）dx=∫ψ（y）dy。

例1：求微分方程（x^2）ydy+（1-y^2）^（1/2）dx=0 。

解——

1. 移项：（x^2）ydy=-（1-y^2）^（1/2）dx；

2. 将x和y放到一边：-ydy/（1-y^2）^（1/2）=dx/（x^2）；

3. 积分：∫-ydy/（1-y^2）^（1/2）=∫dx/（x^2）；

4. 由求积分技巧解出两边的原函数：（1-y^2）^（1/2）=-1/x+c，c为任意常数。

5. 所以我们得出隐函数1/x+（1-y^2）^（1/2）=c是一个解，函数的定义域为x不为0，y的取值范围为[-1,1]；

6. 另外我们注意到，x=0，y=1或-1也是一个解。

例2：求向径与切线垂直的曲线方程。

向径——曲线上一点与坐标原点的连线。

解——

1. 列出曲线的参数方程，x=x（t），y=y（t）；

2. 由解析几何知识，向径的向量即为（x，y），曲线的切向量为（x'，y'）；

3. 由解析几何知识列出微分方程，xx'+yy'=0，即x（dx/dt）+y（dy/dt）=0，得到xdx+ydy=0；

4. 移项：xdx=-ydy；

5. 积分：∫xdx=∫-ydy；

6. 解得原函数为x^2/2=-y^2/2+c，即所求方程为x^2/2+y^2/2=c。