之前在录概述的时候是半夜了，讲多了脑子有点不清楚，这里特地把向量平移中的一些细节再补充一下，联络和基向量平移的概念不再叙述。

文中的平移思路来自于朗道在《场论》中的叙述，斯托克斯公式的简化版来自于视频

【广义相对论】两小时零基础推导爱因斯坦场方程 https://www.bilibili.com/video/av12733229/，链接在视频评论区有

一、局部差，平移差，全差

如图所示，是一曲线坐标系。在该曲线上取两相邻点与，其对应的基向量为与。同时，在点处取一向量，记其分量为，在点处的分量为。同时，对向量做平移到,平移后的向量记为

由联络的分析可知，基向量在平移中会发生变化，这种变化全部由平移产生。向量分量作为向量对基向量的分解，也有类似的情况。

这里定义两点之间的向量变化有三种度量：

1.局部差：

向量在沿曲线平移到点后，在新点处两向量之间的差值。

记作

2.平移差：

向量在沿曲线平移到点的过程中，向量发生的变化的差值。

记作

3.全差：

向量在曲线两点与处，两向量之间的总差值。

记作

这里的定义与基向量的变化定义类似。

关于局部差，按一般变化，可以用全微分描述：

关于平移差，由基向量分析可知，其与向量本身，以及经过的距离成正比，可以引入联络系数表示：，其中两下指标对称，满足挠率为0。

关于全差，通过简单的计算可知，

于是，将平移差与局部差带入，可以得到：

类似与全微分，对全差引入协变导数：

，则全差可简单的写为

二、黎曼曲率张量

现在考虑一个曲线回路上的向量平移。如上图，左边是一个圆锥，沿其母线方向取一个向量。现在，沿着将其剪开，形成一个不完整的圆，其中与在圆锥上为重合。因此，向量与是相同的。

现在令该向量从点出发，沿圆弧平移一周回到点，记终向量为。可以发现，与是不同的，有角度上的差别。由于这里我们仅仅只是做了平移，这种误差是由于纯平移造成的，记作。

为了研究该差值，考虑到平移回路，因此理论上应该对平移差取回路积分。为了方便书写，取向量的分量，则回路误差可以写作：。明显，可以使用斯托克斯公式把回路积分换为面积分，再进行求导。

因为目前还没有用外微分式严格证明过流形上的积分，因此我们跳过斯托克斯公式，采用一种更加特殊的方式来求解这个回路积分。

（以下文章中会将向量实体和分量混记，全部表示分量）

如图所示为一个平行四边形回路微元，回路方向为。

长度为，。正方向为与，回路中。

设向量沿回路走过一圈，在各点处以下角标标记，为。由前文可知，向量与向量必有误差，记作，分量式。

对于相邻两点之间的平移，向量的差可以用平移差表示，这里按回路方向取值，距离用后加括号表示:其中与的方向与正向相反。

可见，相对的两边：上的平移差是有不同的，而这种不同可以看作是在相邻方向上两点之间的全差，用协变微分表示，距离同样后加括号表示。这里应注意到上文中提到的回路方向所涉及到的符号问题，以及重复项：

由此，我们便可以计算回路误差了：我们将分量式，以及所有的差值全部代入，简单计算可以得到：

【一定要自己检查指标是否守恒！】

式中，与是微元，不受偏微分影响；同时由于是微小回路，可以看作常数，从微分中提出。最后，将哑标和改写为，从而能把全部提出。

经过整理，可以得到结果：

引入黎曼曲率张量 Riemann Curvature Tensor ：

同时令为回路面积微元，则回路差公式可以写作：

式中均为哑标，指标守恒。

这里是将面积微元看作小面积提出，若放进积分中，则回路积分可写作：

这里可以明显看到我们成功的将闭曲线积分转为了面积分，也就是斯托克斯公式。在证明之后可以验证，上式的结论是正确的。

从推导中可以看出，黎曼曲率张量是一个(1,3)型的4阶张量，满足张量变化法则，其中后两个协变指标是微分指标，与面元有关；第一个协变指标与向量分量有关；而唯一的逆变指标则是代表了回路差。对于指标的升降问题，利用度规张量与其对偶张量即可。黎曼曲率张量是为了纪念伟大的德国数学家与现代微分几何之父格奥尔格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼以及他开创的黎曼几何。

为了纪念意大利数学家、理论物理学家格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗在张量分析上的贡献，将黎曼曲率张量的二阶缩并称为 里奇张量 Ricci Tensor :

再次缩并二阶成为一个标量，称为 标量曲率 Scalar curvature ：

这样，关于古典微分几何中的向量平移的内容就结束了。曲率张量的特性，以及彼得罗夫分类就放在之后细讲了，尽情期待。

感谢观看！