应力的概念

        很多读者在学习流体力学时，不太清楚应力是什么，可能在哪里听到过这个概念，但是总感觉非常模糊。然而，在流体力学的学习中，我们要频繁用到这个概念，甚至要解释“什么是流体”这个问题，也要用到应力的概念，所以本讲义简要解释一下什么是应力。

        本讲义用一个简单的例子帮助初学者理解应力。

        想象一下有两根均匀粗细的杆，一根粗一根细，设它们的截面积分别为10 和20  ，它们分别都受到了在两端截面上均匀分布的10 的拉力，处于平衡状态。

        如果我们仅仅学过高中物理，我们会说，这两根杆都受到了10 的拉力，再进一步我们就不会分析了。然而，这两根杆有个很大的区别，它们的粗细不同，一根是10 ，一根是20 ，按照生活常识，在两根杆的材质一样的情况下，越细的杆越不结实，就是说，截面积为10 的杆更容易断裂。那这是为什么呢？

        我们简要分析一下，如图所示，我们在杆的中部做一个与杆件垂直的虚拟的截面。

        注意，这个截面并不是真的把杆给截断，图中这样画是为了方便作图，假设我们变成了一个比蚂蚁还小的小人儿，我们现在就在这个虚拟截面的位置，现在我们想观察一下这个截面上的受力情况。

        我们可以肯定，这个虚拟截面上肯定是有力的作用的，我们可以直观地想象到，既然杆受到了一定拉力，那在杆的内部（包括这个虚拟截面上）是有张紧的那股“劲儿”的。这股劲儿大小，也就是这个力的大小，我们是比较好确定的。

        因为杆本身处于受力平衡状态，所以被虚拟截面分开的两侧的杆都应该是平衡的，那么这个虚拟截面上也应该受到10 的拉力。同样是10 的力，施加到10 的虚拟截面上与施加到20 的虚拟截面上的效果显然是不同的，我们假设力在截面上的分布是均匀的，那么我们就可以计算出单位面积上的力，对于截面积为10 的杆而言，计算结果是10000 ，对于截面积为20 的杆而言，计算结果是5000 。显然，截面积为10 的杆承受的张紧程度是截面积为20 的杆的两倍，所以它更容易断裂，这与我们的生活常识相符。

        综上所述，我们要考察力的作用效果，不仅要考虑力本身的大小，也要考虑这个力施加到单位面积上的大小。我们把物体（包括流体）内部单位面积上的力称作应力，应力的国际单位为，或写作，在大部分的工程应用场景下，1 是一个比较小的应力，所以常用的压强单位还有、等等。大家可以发现，应力的概念和我们初中阶段学过的压强很类似，都是单位面积上的力，但是两者有所不同：1、应力是指物体内部的受力状态，是一种内力；2、应力是个矢量，既有大小，也有方向。同时大家也要注意，我们初中学的压强的概念和流体力学中压强的概念有所不同，要注意区分，本讲义后面会讲到。

        以上我们是用比较生活化的语言定义了一下应力，下面我们较为严谨的方式给应力下一个定义。我们在物体中（比如一团流体中）的某一点处取一个小的虚拟截面，面积为，在这个虚拟截面处的内力为，

        此处的平均应力为

当面积非常非常小，趋近于0时，我们把极限

定义为该点处某个方向上的应力。

        在以上的定义中，要注意以下几个问题：

        1、在上文举的杆被拉的例子中，由于施加的拉力是沿着杆的，所以垂直于杆方向的虚拟截面上的应力是垂直于截面的。然而，在实际的一般情况中，虚拟截面上力的方向可以是任意的，除了有垂直截面方向的分量，还可能有与截面相切方向上的分量。具体到定义当中，即应力可以沿垂直截面方向（法向）和与截面相切方向（切向）正交分解，

        我们用和分别表示的法向分量和切向分量，并称为正应力，为切应力。正应力和切应力是以力的作用方向来划分的，由于作用方向的不同，两者的作用效果也不同，正应力由于是垂直于截面的，所以它会产生拉伸或者挤压的效果，切应力由于是沿截面切向的，所以它会产生“错位”的效果，或者更专业地用力学术语说，会产生剪切效果。

        2、根据牛顿第三定律，虚拟截面处的两侧都会受到应力的作用，作用力和反作用力的大小相等、方向相反且作用在同一条直线上，那我们应该分析哪一侧的受力呢？或者，我们应该用哪一侧的应力的方向定义应力的方向呢？事实上，我们只要取我们实际问题中关心的那一侧就可以了。例如，在实际的受力分析中，我们会从流体内部取一个小的流体微元进行受力分析，

        这个小微元由于在流体内部，会受到应力的作用，此时我们只要关心当前所研究的流体微元表面的应力就好了，不用去管和它相邻的微元的和它共享的表面的那一侧的受力。此外，应力是物体内部某一点处的一种受力状态，我们关心的是作用效果，而不是某一侧应力的方向。例如，对于正应力来说，要么是挤压的效果，要么是拉伸的效果，在之后的学习中我们会知道，我们会规定产生拉伸效果的正应力为正，产生挤压效果的正应力为负。

        3、读者要注意，我们在定义的时候并没有规定虚拟截面的朝向，事实上，截面方向具有任意性。所以我们在谈到一个地方的应力的时候，首先要选定截面的方向，这样才有意义。当截面选取不同的方向时，一般地，截面上的应力也有所不同。