大学物理（电磁学）知识梳理与例题选讲：§05 静磁学
恒磁场的基本结论
# 产生机制
- 电场：有电荷之时则可产生
- 磁场：运动电荷产生（电流）
# 研究方法的起点
- 电场有点电荷出发
- 磁场在闭合电路以电流元出发
电场与磁场研究起点的区别：点电荷可以独立存在，而电流元则需在闭合电路中才存在
# 安培定律：由点电荷的库伦定律类似，可由电流元之间可得
注意：对于两个电流元之间不满足牛顿第三定律，原因为电流元存在的前提，非整个系统的作用力。
在整体系统分析时，牛顿第三定律满足
## 库伦定律与安培定律的常数比较
## 例题
### 例1：两直导线问题
两平行且无限长的直导线，求右边导线L受到的磁力
由无穷对称性，可任取一个电流元dI分析
磁力微元dF为
求解结果为
磁力F的方向分析
# 磁感应强度——毕奥-萨伐尔定律（BS定律）
引出的来由：由库伦定律的值为广延量推出强度量的场强，同理安培定律可推出的强度量为磁感应强度
## 毕奥-萨伐尔定律（无法由安培定律推导而来）
注意：式子为叉乘
## 磁感应强度的性质（高斯定理与环路定理）:有旋无源
此处up主省略了证明过程
注意：电流 $I_{i}$ 的方向为与环路中的磁感应强度B方向（由右手定则可得）同向为正，反向为负
性质总结：
磁场分布的求解
# 电场与磁场的区别与联系
## 定理的处理方法
注意：不能使用`跃变法`和`势能`（虽然由磁矢势，但与电势完全不同）分析磁场性质。
## 定理常用性
磁场的通量积分（高斯定理）与电场的环路定理结果为0，不常用；而电场的通量积分（高斯定理）与磁场的环路定理结果不为0，因而较为常用
## 对称性
电场为反对称；磁场对称（运算为叉乘）
# 例题：使用BS定理
## 例1：无限长单直导线
已知电流I,求距离导线为d处的磁场分布表达式
### BS定理
- 定性分析：方向为朝纸面往里
- 微元表达式
- 积分求解（分母处的指数为3/2）
不建议使用up主转化为分式代数运算
可以使用三角函数计算
r = d/sinθ 和 l = -d cotθ
以及
d l = d /sin²θ dθ
进而可将积分式可得
B = μI/(4πd)(cosθ₁ - cosθ₂)
## 例2：有限长直导线
已知长度为L、电流为I向上，求在中垂线距离d处的自感应强度B
更改例1中的计算式中的上下限为L/2，-L/2或者即可，则得
## 例3：非中垂线上的有限长直导线
如下图，已知导线为L，点P距离直导线为d，求点P处的磁感应强度B
同理更改例1中
的计算式的上下限即可
可得磁感应强度B
#例题：有宽度或曲线导线问题
## 回顾直导线问题：安培环路定理
则无限长直导线的磁感应强度B，可得
注意：在有限长直导线上不可使用，因其非闭环，而无限长直导线可认为其在无限远处实现闭环
## 例1：圆柱导线
已知圆柱半径为R，电流为I向上，求内外磁场强度B
同时可得导线外的磁感应强度B
导线内磁感应强度B为
磁场方向为环路的切线方向（对称叠加）
## 例2：环形电流磁场（对称性）
可使用BS定理，则微元为
可得
## 例3：无限长带电流的平面
已知电流为I，宽度为a，求离中轴线为z的点P处磁感应强度B表达式
- 对称性分析：可知点P磁场关于中轴线对称
- 定性——方向定性：与平面平行且与中轴线垂直
- 微元分析与求解
结果为
磁感应强度B方向（侧视图）
当其为无限大载流平面（即宽度a -> ∞），磁感应强度B为
## 例4：无限长螺线管
- 定性——磁感应强度方向分析
由题可知为无穷对称性与安培环路定律，可得螺线管内部磁感应强度B平行于螺线管且相等
螺线管外部磁感应强度B，由安培环路定理可知，其为0（附近的微分导线与无穷远处导线构成闭环，其中无内电流）
对于截面处的螺线管分析，并由BS定理可得磁感应强度B方向朝左
由安培环路定理，可得（n为匝数 ）
例题补充：中档题
# 例题
## 例1：圆弧导线
已知半径R、角度θ，求磁感应强度B
- 取电流元分析
- 定性——磁感应强度B的方向(朝纸面向里)
- 微元表达式与求值
## 例2：同轴电缆
已知内部实心圆柱的半径为r1，外层圆筒的内径为r2，外径为r3，求整个空间磁感应强度B的分布
由叠加原理可分别求出
- 实心圆柱体
- 外圆筒
定性——磁感应强度的方向：由对称性可得其为与圆筒的切向方向
由安培环路定律，得
叠加（注意磁感应强度的方向）
## 例3：绕线的绝缘球体
已知半球上的匝数n、球半径R、电流I方向向上，求球心O处的磁感应强度B
题目图如下
注意：这个的导线环绕为圆弧均匀分布的匝数
，而不是线的间距均匀的环绕方式
- 取微导线
- 定性——磁感应强度B的方向：由BS定理可知（？）
- 委员分析
可得
求解磁感应强度B为
## 例4：导体球壳问题
电流 I 由A点沿直径流向B，然后沿着表面经线回到A点，求磁感应强度B的分布
思路：其为各个小圆微面的叠加组成球面，加上中轴线上的直导线(个人看法)
- 取电流元
- 定性——B的方向：其为切向方向
反证法：当存在法向分量时（同时考虑对称性），其不满足磁感应通量定理（磁场的高斯定理）
在小圆内部，由环路定理，得
同理小圆外部亦可得
安培力
# 磁感应强度的散度（点乘）与旋度（叉乘）
# 安培力
一导线长为L、电流为I，在朝纸面向里的磁感应强度B之下
则安培力F为
注意：此时不需考虑电流所产生的磁场效应
# 例题：安培力
## 例1：矩形导线
以下为均匀磁场
易证明安培力相互抵消
## 例1：拓展
此时合力F为0，但力矩M不为0
引入磁矩后
## 例2：一般封闭曲线型导线
以下为均匀磁场
沿x轴y轴分解可知，亦会相互抵消
洛伦兹力
# 安培力与洛伦磁力的关系
二者为同理定律下的不同表现方式，安培力为宏观的体现，而洛伦磁力为微观体现
注意：电荷的正负，其会影响洛伦磁力的方向判断
# 例题：洛伦磁力
## 例1：粒子在磁场下做圆周运动时
能量性质
- 动能不变
- 动量的值不变，方向改变
- 永不做功
## 例2：管内电荷
求管中电荷的运动状态
考虑洛伦磁力：此时需要考虑到电荷的后续效应（连带作用），即当电荷受到洛伦磁力 f 作用运动时，也会引起洛伦磁力效应产生新的洛伦磁力 $f_{⊥}$
此时洛伦磁力f做正功，而新的洛伦磁力 $f_{⊥}$做负功
## 例3：电场与磁场
求运动轨迹
其为圆周运动与匀速直线运动的合成，等效于纯滚动圆盘的边缘点的轨迹，将会是滚轮线
## 例题：洛伦磁力的应用
## 例1：霍尔效应
求电势差V
电势差V，可得
## 例2：粒子速度选择器
由电场力与洛伦磁力平衡可得
## 例3：质谱仪
根据半径R求出质荷比
## 例4：回旋加速器
频率 f 、最大速度 $v_{m}$ 和最大动能 $E_{k}$
加速次数n
## 例5：磁焦距、磁约束
其运动轨迹将为螺旋运动（相当于在圆盘上运相对圆心远离的运动）
磁聚焦：粒子经过运动后聚焦于某一点
磁约束：利用磁场约束粒子的运动范围
