2023数分Day63(多元函数微分学与隐函数定理1：可微性证明)
一、整体感觉
1、需要对方向导数（及梯度）、偏导数、可微、连续等定义有清晰的认识
2、对于day61中求重极限的技巧不能忘，基本每道求原点是否可微的题都会有所涉及
3、通过对16.3的课本习题以及总练习题的学习训练，发现为什么真题中很多都是考察在原点的情况（如连续、可微、方向导数），因为原点很特殊，其他范围可以直接利用初等函数必然连续。这也是一个新感悟。
二、需要深刻理解与掌握的点
1、聚点、开集、闭集定义
【聚点】
【开集、闭集】
2、平面点列的收敛性定义+R^2上的完备性定理（4个）
【平面点列的收敛性定义】
【R^2上的完备性定理：柯西准则、闭域套定理、聚点定理、有界覆盖定理】
3、如何定义二元情况下的有界与无界函数？
4、二元函数的连续性概念（连续，间断）
5、全增量与偏增量定义
6、定理：复合函数连续性
7、有界闭域上连续函数的性质（3条定理）
8、二元函数可微性定义及全微分
9、方向导数定义、方向余弦定义（涉及一个定理及其证明）及其两道例题
10、上述两道有关方向导数定义、方向余弦例题说明，
① 在一点可微 可以推出 方向导数存在；
但 方向导数存在 推不出 在一点可微；
② 连续 推不出 方向导数存在；
同时 方向导数存在 也推不出 连续.
11、梯度定义及其满足性质
【梯度满足性质】
12、梯度及其模的1道习题
三、具体题目
1（上大）
第一问：原点处的方向导数存在性问题，先设出单位向量l=(cosθ，sinθ），写出方向导数的定义，发现会出现sin(tanθ）这一项，又因为θ范围在[0,2π）,所以分成两种情况讨论θ，一种是θ=π/2,3π/2；另一种是θ≠π/2和3π/2两种情况。发现前一种情况方向导数为0，第二种情况方向导数是关于θ的函数；这说明函数在原点处沿任何方向的方向导数都是存在的！
第二问：求偏导数，直接根据偏导数的定义算就可以了
第三问：利用可微定义，写出那个表达式，计算一下重极限，利用取不同路径y=kx(x>0)极限不一样的那个方法，算出这个极限是一个关于k的函数，随着k的不同，极限不同，这说明重极限不存在，在原点不可微；这里也可以用一下极坐标替换x=rcosθ，y=rsinθ来做，一样是重极限不存在，在原点不可微。
2（安徽大学）
讨论二元函数在原点处的连续性、偏导数的存在性、可微性！
①利用放缩（分母用了一个均值不等式），发现随着（x,y)→（0，0），这个极限值|y|→0，说明f在原点连续；
②写出偏导定义式，发现均为0，偏导数存在；
③考虑可微性，写出那个表达式，计算重极限，看到式子中的分母出现了x^2+y^4，为了让次数变为一样，所以令x=ky^2，发现随着k不同，极限不同，这说明重极限不存在，f在原点不可微！
3（福州大学，北师大）
第一问：按定义做就可以了，由于题目中出现了绝对值，所以就考虑单侧极限，让左侧极限=右侧极限，就可以得到偏导数存在的条件了，按照写出左侧和右侧的极限就可以。
第二问：考虑可微性，仍然是写出那个表达式，去求重极限，由于此处可微，所以重极限存在，趋于0，对于放缩过程中注意要用到一个不等式“（|a|+|b|）^2≤2（a^2+b^2）”推出“（|a|+|b|）/根号下（a^2+b^2）≤根号2”，即本题的“（|x|+|y|）/根号下（x^2+y^2）≤根号2".
【学习一下这个不等式】
四、课本多元函数连续性16.3及总复习题（相关习题补充）
