关于不等式的学习(1)

        在学完集合的概念,运算及应用之后来学习含绝对值的不等式和简单的一元二次不等式是有依据的.从此,我们要学会用集合这种数学语言来叙述不等式的解集,集合将成为我们今后学习数学尤其是高中数学的有力武器.如何用好这个武器,不等式就是实践的好机会.

        不等式是与等式相对的一个重要概念,其实在现实当中,相等是比较少的,而不等才是很普遍的情形,试想一想,相等是需要说明它完全一样,而不等则只要找出差异即可.看来学习不等式的有关问题也是一种必然,一种需要.

        先来看含绝对值的不等式|x|>a或|x|<a(a>0),我们根据绝对值的定义及其几何意义来考虑如何解决.首先看绝对值方程|x|=a,它的解可能有两种情形,如果x≥0,x=a;如果x<0,x=-a.这是根据绝对值定义来的,倘若利用绝对值的几何意义考虑,|x|=a就表示x到数轴上原点的距离为a,求未知数x的值.根据数轴的特征可知,这样的点有两个a和-a,于是同样知道这个绝对值方程有两个解.类似地考虑不等式|x|>a(a>0),到原点的距离大于a的点在-a的左边或者a的右边,即解集为｛x|x<-a或x>a｝,也就是所谓"大鱼吃两边";同样可知,|x|<a(a>0)的解集就是｛x|-a<x<a｝,也即所谓"小鱼吃中间".

       进一步,如果把上面不等式中的x换成一个式子ax+b,即这样的不等式|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0),解法也是类似的.利用整体代换的思想,将前面的x换成ax+b就行了.

       还有如果上面的不等式|x|>a或|x|<a中把a>0这个条件去掉的话,问题就不一样了,就需要分类讨论了,如对不等式|x|>a,当a>0时,就是上面的情形;当a=0时,解集为｛x|x≠0｝;当a<0时,解集就成了｛x|x∈Φ｝,因为一个数的绝对值不可能小于0,但这样的问题同学往往会自作主张地认为就是a>0,而不是具体情况具体分析,从而导致解答不完整,在考试中会失分.同样地,在不等式|ax+b|>c中如果没有限制c的范围,当然也要分类讨论来解决的,希望同学们仿照上面的过程给予解答.

       其实,说了这么多,我们可以看出,解决含有绝对值的不等式的思路很明确,就是要根据绝对值的意义去掉其中的绝对值符号,这才是关键所在,只要去掉了绝对值符号,问题就变成了一元一次不等式,达到了转化为已知问题的目的.说到转化,我就想起了曾经听过的一个关于数学家的故事:

       平时生活中烧水可以分为这样几步:一,在壶里灌满水;二,放到有火的炉子上烧开.这是人所共知的事.现在的情形是,壶里已经有了满满的一壶水,该怎么办?许多人的做法是,直接放到炉子上烧就行了,但数学家是不这样做的,他说,我只要把水倒出来就行了.为什么?因为这样一来,问题就转化为大家都已知的平常的烧水问题了.这就是数学的思维--转化和化归.我们在数学学习过程中遇到的问题基本上都是要通过转化和化归来解决的,这是一种基本的常识.

       含有绝对值的不等式问题有下面几类:

       一是基本的解不等式问题,就是课本上涉及到的题目,只要求大家熟练掌握常规的解法,即"大鱼吃两边""小鱼吃中间". 大家只要分清在什么情况下应用这样的法则就可以了.

       二是含参数的绝对值不等式,像刚才提到的去掉a,c的限制条件,就需要我们进行合理的分类讨论来解决,何谓"合理的分类讨论"?就是分类标准要明确,不重不漏,如a>0,a=0,a<0,缺一不可,不完整的分类当然是拿不到满分的.

       三是含有两个或两个以上的绝对值符号的不等式,我们用"零点分段讨论法"来解决,只有这样,才可以去掉式子中的绝对值符号,使之转化为不含绝对值的不等式,但在每一段上得到的结果必须满足各自的前提条件,即在每一段上解得原不等式的解之后,要与前提条件求交集,最后把各段的结果取并集,因为每一段是互不影响的.这需要看一个例题:

       解不等式|x+1|+|x-1|<3.

       解:在原不等式中,若|x+1|=0,x=-1;若|x-1|=0,x=1,

       于是-1,1把整个数轴分成了三部分.

      (1)当x<-1时,原不等式可变为-(x+1)-(x-1)<3,即x>-3/2,此时原不等式的解集为

    ｛x|x>-3/2｝∩｛x|x<-1｝=｛x|-3/2<x<-1｝.

      (2)当-1≤x<1时,原不等式可变为x+1-(x-1)<3,即2<3,恒成立,x∈R,此时原不等式的解集为

    ｛x|-1≤x<1｝∩R=｛x|-1≤x<1｝.

      (3)当x≥1时,原不等式可变为x+1+x-1<3,即x<3/2,此时原不等式解集为｛x|x<3/2｝∩｛x|x≥1｝=｛x|1≤x<3/2｝.

   综上由(1)(2)(3)的并集得原不等式的解集为

｛x|-3/2<x<3/2｝.

        另外,解此绝对值不等式也可以结合其对应的函数图象来考虑.

       这里的绝对值函数f(x)=|x+1|+|x-1|通过零点分段讨论之后可以转化为分段函数,当x<-1时,f(x)=-2x;当-1≤x<1时,f(x)=2;当x≥1时,f(x)=2x,明显地,函数图象分为三段,左边是向左上方无限延伸的射线,中间是水平线段,,右边是向右上方无限延伸的射线,整体上关于y轴对称(具有这样图象的函数将来我们会知道它是偶函数,在第二章学习).解这里的绝对值不等式就是要找出函数图象上使函数值小于3的所有自变量x的集合,为此,我们通过y轴上的点(0,3)作一条水平直线,与函数f(x)的图象会有两个交点(-3/2,3)和(3/2,3),在这两个点之间的函数f(x)的图象都在直线y=3的下方,这部分图象上的x都是适合不等式的,所以这个不等式的解集就是｛x|-3/2<x<3/2｝.

       如果把这个问题进行变化,就有下面的问题:

      若不等式|x+1|+|x-1|>a对任何x∈R都成立,求a的取值范围.

       该题若用零点分段讨论法来解答,过程回很长很繁琐,有兴趣的同学不妨一试,但若利用函数图象来考虑则别有洞天.由刚才的过程知,函数f(x)=|x+1|+|x-1|的最小值为2,欲使原不等式恒成立,只要a小于这个最小值2就行了.即a<2为所求的取值范围.这就好比门口有一个人说他比我们班的每个人都低,为了验证他说的是否正确,我们并不需要让他来和我们班的每个人都比一比,只要让我们班最低的人和他比试就有了结果.这就是说,恒成立问题往往要转化为最值问题来处理.这种恒成立问题,我们在一元二次不等式中还会系统来研究,这里就不多废话了.

       总之,这种含有两个或两个以上绝对值的不等式问题,一般方法是"零点分段讨论法",还可以结合对应的函数图象,用数形结合的思想来解决.

       至于一元二次不等式的问题下次再谈.

(wei'wan待续)

(2006-09-20 08:02:39)