2023数分Day85(曲线积分3：格林公式的进一步应用)

一、整体感受

1、在学完本节之后对Green公式有了更深刻的领悟，

甚至对于day84题4有了更新的领悟，写了法三。

2、这一节让我感受到了对于曲线及区域之间的关联，曲线顺逆之间的差别（以逆时针为正），如何取一个有瑕点的区域，如何确定这个有瑕点的边界方程。在这样的领悟之下，对day84的题目进行重新学习、思考、体悟。

3、本节对于一些几何知识还是有一定的要求

（如椭圆面积公式；曲线切向量、曲面的法向量公式；切向量与法向量之间的关系；Green公式如何计算面积等几何知识，这也是对之前多元函数的几何应用的再次回顾）

4、第一型和第二型曲线之间的联系的再次深度认识，也是对专栏“day83-补充”这一节对于二者联系的再次深度认识。在本专栏二、3会通过一道补充习题的训练对于一些几何知识做进一步深刻认识。

二、 需要复习、掌握的

1、曲面切平面与法线方程（可以同时得到法向量，如何应用具体见本专栏二、3）【注：平面是一种特殊的曲面】

2、（1）Green公式对于求面积的帮助（在电子科大最后一步有涉及，不过即使没意识到，用Qx-Py也可以，这里只是做视野拓展）

（2）Green公式使用要注意的条件；及积分与路径无关性的4个等价条件成立的条件是D是个单连通区域，做题时候要有意识的验证！

3、第一型和第二型曲线之间的联系的再次深度认识（理论+补充习题）

（1）理论

（2）补充习题

4、对于区域与边界的联系，通过做有关Green公式的习题（本专栏同济和电子科大，以及day84的中科大这三题）再次得到深刻感悟

三、具体题目

（一）对day84题4的新做法（法三）

思考思路：由于L可以不涉及到（1/2，0），分成最简单的三段做，比如（0，-1）到（1，-1），到（1，1），再到（0，1）这三段去相加；此时这个区域D不包含（1/2，0），可以放心使用积分与路径无关性的等价条件！

具体做法：

①

(0,-1)到(1,-1)这个线段，y＝-1,x属于0到1，dy＝0代入；

(-1,1)到(1,1)这个线段，x＝1，y属于-1到1，dx＝0代入；

(1,1)到(0,1)这个线段y＝1,x属于1到0，dy＝0代入。

注：计算积分的时候可能要注意到换元、上下限的变换、奇偶函数的性质使用。

②最后三段相加，得到结果为4arctan(1/2)+2arctan2；

③再利用arctan(1/2)+arctan2＝π/2可以得到最终结果，和法一、法二结果一致。

（二）本节习题

1（同济）

对于第一、第二型曲线积分的联系的理论，运用到切向量和法向量的关系来化简被积函数，对于基本功的考察很细致，很经典的一道题。

对于理解Green公式以及如何挖有很好帮助，值得好好学习，这类题本质还是套路题，不要怕，还是有迹可循的。

做法：

①利用题干、法向量及切向量关系化简被积函数；

②记出P、Q，观察被积函数分母，发现可能（x,y）是瑕点

③对于（x,y）是否为瑕点分类讨论.

第一种是不包含（x,y）,那么P,Q在不包含（x,y）的任何区域有连续导函数，算出Qξ和Pη相等，利用Green公式化为二重积分，最后积分值为0；

第二种是包含（x,y)，那么（x,y）就是D的内点；

我们在D内任取一个圆，记为Dε；

再把这个Dε的边界这个圆周记为Cε，取顺时针。

于是得到C+Cε就是D-Dε的边界曲线，而且（x,y）∉D-Dε。

下利用Green公式知道C+Cε上的曲线积分=0，

再将式子移项，那么u(x,y)=C上曲线积分=-（Cε上的积分）=-Cε上的积分

（注：这也是为什么之前Cε这个圆周取顺时针的原因，这里-Cε就可以取逆时针，就是正值）。

因此积分变成了在-Cε上的积分了，这个圆周方程可以把P和Q的分母变成ε^2，并提到积分号前面，

此时只剩P、Q的分子在积分之中，这两个函数在Dε上有连续的偏导，

所以利用Green公式化简，直接Qξ-Pη=2,把2提到外面，

此时这个Dε二重积分的面积就是π*ε^2。

最后得到u(x,y)=2π。

整理一下得到（x,y）∈D，积分值为2π;（x,y）∉D，积分值为0.

注：特别希望对于这里第二种情况好好复习，探索思路，对于曲线积分有瑕点问题的解决有很大帮助！！！！

2（电子科大）

难度上没有上一道同济的难，但是还是考察基本的会不会挖，操作流程基本没有改变，还是分瑕点是否在区域中进行分类讨论。

做法：

①画图，同时观察被积函数的分母，发现（0，0）这点可能是瑕点。

②记P,Q，验证Py=Qx

③分类讨论，分成0<r<1和r>1两种情况.

第一种，直接用Green公式，积分为0.

第二种，

先在D中以（0，0）为中心任取一个椭圆（要符合被积函数分母的形式，方便待会提到积分前面），记为D’.

记这个椭圆的圆周为γ1，逆时针.

于是γ+（-γ1）这个边界上的积分可以利用Grren公式，为0.

（这里-γ1是顺时针方向的）

移项，得到γ上积分=-（-γ1）上的积分=γ1上的积分，

由于积分在γ1上，可以把P和Q的分母转换为ε^2，提到积分前面.

再利用Green公式，把γ1上的曲线积分转换为D’上的二重积分.这里可以利用一下“Green公式对求面积的帮助”（可见本专栏二、2（1）），如果没注意到，直接用P、Q的分子算偏导算出2也可以

此时把2提到积分外面，剩下了D’的二重积分，求面积，就是求这个椭圆D’的面积（注：椭圆面积公式=πab，a为长半轴，b为短半轴）。

最后将两种情况归总一下即可。