正向，负向，如何不让人晕头转向 MRN的数学之旅 第2篇

在上一期专栏中，我们试着做了一下这道题，但在最后的结果上，出现了一些问题。所以，本着科学的精神，我们要仔细分析过程，找出问题所在。

俗话说，“细节决定成败。”上一期中，我们的推理看似天衣无缝，但结果显然不对，一定是在某处细节上出现了问题，只有细致的分析才可能把它找出来。

在之前的计算中，我们把曲线分为了上下两部分，并分别对每部分使用了格林公式计算其面积，并对最后得到的第二型曲线积分进行了计算。在这之中我们分别使用了这两个公式。

因为第二型曲线积分是有向的，所以积分区域的定向会影响积分值的正负，进而影响最终的结果。

如果注意一下上期计算的细节，可以发现，up假定了这两种不同的定向方式导出的定向相同。但事实真的如此吗？

首先，我们可以根据格林公式的定向方法，对该曲线做出如下的定向

至于参数增加的方向就难以确定了。为此，我们通过Desmos做出如下的一系列图像

因此，由图像我们可以得到由参数增加方向导出的定向

对比两个定向方式，我们可以发现：它们对C¹的定向相反，而对C²的定向相同。所以，我们上期对C¹的积分结果与C¹的面积相差一个负号（积分方向相反）。因此，S=-(-16/9)+16/9=32/9

本期课后思考：如果不借助数学软件，如何得出参数增加的方向？

数形结合多好事，严谨直观熔一炉

By MRN 2019.4.20