A-0-1微元与小量（2/2）

2023-08-26 18:09 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

0.1.4 小量计算

1.高阶小量舍去

一般情况下，高阶无穷小量可以直接舍去。

比如在计算匀变速直线运动时，当 $%20%5CDelta%20t%5Crightarrow%200$ ，初速度为 $v_0$ ，末速度为 $v_0%2Ba%5CDelta%20t$ 。对应位移 $%5CDelta%20x$ 满足

$v_0%5CDelta%20t%5Cle%5CDelta%20x%5Cle(v_0%2Ba%5CDelta%20t)%5CDelta%20t%3Dv_0%5CDelta%20t%2Ba(%5CDelta%20t)%5E2$

由于 $a(%5CDelta%20t)%5E2$ 是 $v_0%5CDelta%20t$ 的高阶无穷小量，可以忽略不计，

所以 $%5CDelta%20x%3Dv_0%20t$ ，可看成匀速直线运动。

同理，当 $%5CDelta%20t%5Crightarrow%200$ 时，我们可以将曲线运动看成直线运动，将变加速运动看成匀加速运动。

2.保留一阶小量

另外一些情况，题目要求保留到一阶无穷小量时，可以利用一阶等价无穷小，将二阶及以上的无穷小量舍去。比如化简 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D%7D$ ：

$%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B1-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D%7D%3D(1-x)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D(1%2Bx)%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx)(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dx)%3D1-x%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E2$

舍去 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E2$ 得

$%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B1-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%7D%7D%3D1-x$

3.保留二阶以上小量

当要求保留到二阶以上的无穷小量时，我们可以利用泰勒级数：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cdfrac%7Bf%5En(x_0)%7D%7Bn!%7D(x-x_0)%5En$

0.1.5微元法在运动学的应用

1.微元求和

在推导匀变速直线运动位移公式的时候，我们可以将图像下方的面积分割为若干个矩形面积，矩形面积即代表匀速直线运动的位移。从而可以看成把匀变速直线运动分解为若干个匀速直线运动，则直线下方面积就等于整段过程的位移。

由小量运算可知：若干个矩形的面积之和与直线下方面积之间的差值为一阶小量，从而可以舍去。

2.求瞬时加速度

推导匀速圆周运动的向心加速度。

如下图，当角度 $%5Calpha$ 足够小时， $%5Coverset%7B%5CLARGE%7B%5Cfrown%7D%7D%7BBC%7D$ 可以看成线段 $BC$ ，从而

$%5Ctriangle%20ABC%5Csim%5Ctriangle%20CNM$ ， $BC%3Dv%5CDelta%20t%20$

由对应边比值相等得

$%5Cdfrac%7Bv%5CDelta%20t%7D%7B%5CDelta%20v%7D%3D%5Cdfrac%7BR%7D%7Bv%7D$

即

$a_n%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D%20$

3.求瞬时速度

如下图，环静止不动， $%5Cangle%20ABC%3D%5Ctheta$ ，当 $A$ 环以速度 $u$ 沿连心线方向向右运动，求两环交点 $C$ 的速度大小 $v$ 。

当时间足够短时， $C$ 点附近的平均速度就等于 $C$ 点的瞬时速度。我们在上面已经分析过，当运动时间 $%5CDelta%20t$ 足够短时，环和交点的运动均可以看成匀速直线运动。其中环从 $A$ 点移动到 $A_1$ 点，位移 $AA_1%3DCE%3Du%5CDelta%20t$ ，交点从 $C$ 移动到 $D$ 点，位移 $CD%3Dv%5CDelta%20t$ 。