【数学基础146】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（十五）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.2二阶线性非齐次方程解的结构

定义：

1. 二阶线性微分方程——形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的关系式——y为未知函数，x为自变量，p(x)，q(x)，f(x)在（a,b）连续。

2. 二阶线性齐次方程——当f(x)=0，即形如y''+p(x)y'+q(x)y=0的关系式。 

3. 二阶线性非齐次方程——当f(x≠0，即形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的关系式。 

定理：设y0(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个特解，y1(x)，y2(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一个基本解组，则y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解是y=y0(x)+c1y1(x)+c2y2(x).

证明：

1. 任取y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个特解y*(x)；

2. 则有y*(x)''+p(x)y*(x)'+q(x)y*(x)=f(x)且y0(x)''+p(x)y0(x)'+q(x)y0(x)=f(x)；

3. 则

   (y*(x)"-y0(x)")+p(x)(y*(x)'-y0(x)')+q(x)(y*(x)-y0(x))

   =(y*(x)-y0(x))"+p(x)(y*(x)-y0(x))'+q(x)(y*(x)-y0(x))

   =0；

4. 即y*(x)-y0(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，即y*(x)=y0(x)+c1y1(x)+c2y2(x)，得证。