量子计算 [1] -- 量子位系统的表示

上一篇  啊b,  为什么我的上一篇排版爆了,  可以说明一下吗.  不支持md就算了,  不支持Latex真的让数学人好痛苦啊

之前说到了量子计算机里用于储存和计算的基本单位是量子位(Qubit),  量子位有两种状态 |0❭ 和 |1❭ (类似二进制里的0和1),  并且可以同时处于两种中.

单量子位

对于任意一个量子位,  其状态可以表示为 |ψ❭ = α|0❭ + β|1❭,  其中 α 和 β 都是复数.  在对量子位测量时,  给出|0❭或是|1❭的概率与系数α和β有关,  测量得到|0❭的概率是 |α|^2,  得到|1❭的概率是 |β|^2,  为了确保概率总和为1,  |α|^2 + |β|^2 = 1.

在测量(Measure)时,  量子位的状态会坍缩(Collapse)到给出的状态里,  完全失去另一个状态的信息,  假设符号 M 代表测量行为,  在进行操作测量 |ψ❭ 时,  如果给出 |0❭ ,  那么 M|ψ❭ = (α / |α|)|0❭,  相应地,  如果给出|1❭则有,  M|ψ❭ = (β / |β|)|1❭

对于单量子位,  有一种叫 Bloch球(Bloch Sphere) 的方法可以直观地看到量子位的变化,  但是这种可视化对研究量子计算没有什么用处,  并且面对多量子位系统时就显得非常弱鸡.  这里只放一张图就可以了,  如果想要深入了解可以期待一下本篇的附章[挖坑挖坑挖].

多量子位

在n个量子位系统里,  量子位按照顺序标号1,2,..,n [或者按照计算机里的索引一样0,1,...,n-1],  则整个量子位系统可以表示为 |ψ❭ = |ψ_1❭⊗|ψ_2❭⊗...⊗|ψ_n❭,  ⊗叫做张量积(tensor product),  详细计算可以看本篇的附章.

因为每一个量子位又可以表示为 |ψ_k❭ = α_k|0_k❭ + β|1_k❭,  接下来做一下愉快的初中数学: [略],  并且把状态 |0❭⊗|0❭⊗...⊗|0❭ 简略地写为 |00..0❭,  得 |ψ❭ = c_0|00...0❭ + c_1|00...1❭ + ... + c_{2^n-1}|11...1❭,  也就是在n个量子位系统里,  系统状态可以表示位2^n个可能的状态的叠加态,  并且与单量子位的情况一样,  为了确保测量概率为1,  所有系数[即c_0, c_1, .., c_{2^n-1}]的平方和等于1.

由于单量子位是|0❭和|1❭的组合,  可以类比于二进制计算机,  所以多量子位系统的状态也常用数字表示: |ψ❭ = c_0|0❭ + c_1|1❭ + ... + c_x|x❭ + ... + c_{2^n-1}|2^n-1❭.  因为量子位系统只有n个量子位就可以储存2^n种状态,  所以量子计算机可以"同时"进行并行计算.

纠缠

在量子里存在一种现象,  两个或多个粒子的状态互相绑定到一起,  处于不可分状态,  并且确定某一个粒子的状态时,  其他粒子也会同时坍缩至相应状态,  这种现象叫做纠缠(Entanglement).  

并且在量子位系统里也存在这种现象.  在上面知道,  n个量子位的系统存在2^n个状态,  如果系统可以写为n个量子位的张量积形式,  则称系统现在为可分态,  如果不能,  则称为不可分态或纠缠态.

比如现在有双量子位系统: |ψ❭ = |00❭ + |11❭ [忽略归一化系数],  可以看到当第一个量子位测量为0时,  第二个量子位也必然为0,  反之亦然, 反之亦然[第一个"反之亦然"是说第一个量子位测量到1第二个也为1, 第二个反之亦然是说只测量第二个量子位也有相同的结论].  这时候两个量子位就是处于纠缠态.  并且不难证明此时系统状态|ψ❭是不可以写为 (α_0|0❭ + β_0|1❭) ⊗ (α_1|0❭ + β_1|1❭) 形式的

结语

这个就算是"量子计算"这个大坑的第一篇专栏了,  最后推一下自己写的量子计算模拟库: [github.com/nyasyamorina/nyasQuantumCalculate]

还有一个闲聊群, 你可以在里面收获瑟图NULL:   [274767696]