趣味数学：圆生椭圆

这是一个圆，蓝点是它的圆心。

我们取不在圆心上的一个点（图中的黄点），从这个黄点向四周发射光线，打到圆周上。

这样我们就得到了下图中一系列的线段。

每条线段取中点，得到了一系列的点。

每条线段绕自身的中点旋转90度，这时，出现了一个椭圆，至少它看起来很像椭圆。

那么它是不是椭圆呢？毕竟看起来像椭圆不一定就是椭圆。

我们先假设它是椭圆，并且大圆圆心（图中的蓝点）和大圆的一个偏心点（图中的黄点）为它的两个焦点。

再来看在椭圆长轴上的这条线段（图中的橙色线段），我们猜测它的中点就是椭圆的一个顶点。

这个点到两个焦点的距离分别为蓝色的线段和黄色的线段。

又因为它是线段的中点，因此蓝线加黄线等于大圆的半径。

也就是说，这个椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于大圆的半径。

我们再来看其他的线段。

将线段在圆周上的端点与大圆圆心连起来，显然，这是大圆的半径。

橙色线段绕自身的中点旋转90度之后，也就是原线段的中垂线，和大圆半径相交于一点。

这里我们得到两个相等的直角三角形，黄色线段和青色线段相等，所以它到蓝点和黄点的距离之和等于大圆的半径，这说明它是我们假设的那个椭圆上的一个点。

同时它也在橙色线段上，因此橙色线段与椭圆相交与这一点。

再来看橙色线段上其他的点。

由于三角两边的和大于第三边，因此其他的点到蓝点和黄点的距离之和大于大圆的半径，它必然在椭圆之外。

于是我们知道，橙色线与椭圆只有一个交点，它就是椭圆的切线。我们之前通过旋转自身中点90度所得到的一系列线段，是椭圆的切线，或者其延长线是椭圆的切线，这些切线围出了一个椭圆的形状，这个椭圆的焦点分别是大圆圆心和偏心点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为大圆的半径。

引申：反过来，我们也可以得到椭圆切线的一种画法。