【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。 

第三章光学器件

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】  

§3-10透镜成象的放大率

【01】物距不同，由透镜成象的大小也不相同，可能是放大的象，可能是缩小的象，也可能是和物体大小相同的象。为了说明象放大的情况，我们把象的长度和物体的长度的比叫做象的长度放大率，简称为象的放大率，通常用 K 来代表   。

【02】从图3·60中可以知道 ，所以   。

【03】根据公式   ，用  代入，则又可得出   。

【04】从这个结果可以知道，一个透镜所成的象，它的放大率是随着物距 u 而改变的。对于一定的透镜来说，焦距是不变的，物距越大时，象的放大率就越小。

【05】K 的意义是长度放大率，如果要考虑到象的面积放大时可以按象的纵向放大率和横向放大率都是 K 来计算，也就是说，象的面积放大率是 K² 倍。

【06】关于球面镜成象的放大率，情况也和上面所说的相同。

例6.有一个凸透镜，它的焦距是 18 厘米，有一个物体长 3 厘米，问物体应当放在距透镜多远的地方才能得到长 9 厘米的倒象？如果要得到长 9 厘米的正象，物体又应当放在什么地方？

【解】

        已知象长是物长的三倍，即 ，又知 f＝18厘米；象是倒象。所以知道象是实象，v 是正值。因为 ，所以 v＝3u，代入成象公式得  ，， ∴ u＝24厘米。 这时物体应当放在距透镜 24 厘米的地方。

        如果成的是长 9 厘米正立的象，则就是虚象，v 是负值，应当以 v＝－3u 代入透镜成象的公式中：  ，，∴ u＝12厘米。这时物体应当放在距透镜 12 厘米的地方。

【07】讨论关于透镜成象的几种主要的情况，可以通过透镜成象的公式来加以讨论。从公式 可以得出，  。

【08】当透镜一定时，焦距 f 就是定值，随着物距 u 的不同，从(3)式和(4)式可以看出，透镜所成的象的位置、性质和大小也就不同。

1、凸透镜成象的情况（f 是正值）

【09】(1)当 u < f 的时候，，所以 ，象是虚象。

【10】又因为 0 < u < f，所以 | u-f | < f，根据(4)式知道：，所以象是放大的,。

【11】结论：当物体放在凸透镜的焦点以内时，成的象是放大、正立的虚象，象和物体在透镜的同一侧。

【12】(2)当 u＝f 的时候，代入公式(3)和公式(4)，得到的结果都是没有意义的。

【13】结论：当物体放在凸透镜的焦点上时，既不形成实象，也不形成虚象，从物体射到透镜土的光束，经折射以后是平行的。 

【14】(3)当 f < u < 2f 的时侯，，所以 ，即 v > 2f，象是实象，位于两倍焦距以外。

【15】又因为 v > 2f，u < 2f，所以 K > 1，象比物体大。

【16】结论：当物体放在凸透镜焦点以外、两倍焦距以内时，所成的象是放大、倒立的实象，象和物体分居在透镜的两侧。

【17】(4)当 u＝2f 的时候，，所以 ，象是实象，位于 2f 上。

【18】又因为 (u－f)＝f，所以 ，象和物体大小相等。

【19】结论：当物体放在透镜的 2f 上时，成的象是倒立的实象，大小和物体相等，象和物体分居在透镜的两侧。

【20】(5)当 u > 2f 的时候，，所以 ，即 v < 2f  。

【21】又因为 ，所以   。即 f＜v＜2f  。象是实象，位于焦点以外、两倍焦距以内的地方。

【22】因为 u > 2f，v < 2f，所以 ，象比物体小.

【23】结论：当物体放置在透镜的两倍焦距以外的地方，所成的象是缩小、倒立的实象，象和物体分居在透镜的两侧。

2、凹透镜成象的情况（f 是负值）

【24】当物体放在距凹透镜任何距离处，u 总是正值，f < 0，所以 ，，象总是虚象。

【25】又因为 f < 0，| u－f | > | f |，所以 ，象比物体小。

【26】结论：物体由凹透镜成的象总是缩小的正立的虚象，象和物体在透镜的同一侧。

例7.烛焰和纸屏间的距离是 L，在它们之间放一个焦距为f的凸透镜。这个透镜放在两个不同的位置上时，纸屏上都清楚地显出烛焰的倒象。试证明：这时烛焰和纸屏间的距离必须大于凸透镜焦距的 4 倍，即 L > 4f  。

【解】

        设成象时，烛焰离透镜距离为 u，则象（光屏）离开透镜的距离为 (L－u)，代入透镜成象的公式   ，化简后得出 f(L－u)＋fu＝u(L－u)，fL＝Lu－u²，整理后得出  。从(5)式解出   。

        这一结果表明，要求透镜放在两个不同的地方时，在屏上都能成象，即要求上式中 u 有两个实数根，就必须有 L²－4f L>0，即 L(L－4f) > 0 。因为 L 总是大于零的，所以应有(L－4f) > 0，即 L > 4f  。

        从这个结果还可以看出：如果 L²－4fL＝0（即 L＝4f），则 u 只能得出一个实根，也就是 u＝2f，v＝2f，K＝1 的情况。如果 L²－4fL < 0（即 L < 4f），则解出的 u 为虚数，表明这时不能在屏上显出烛焰的象来。

例8.上题中如果凸透镜的焦距 f 是待测的，凸透镜放置的两个位置间的距离是 d，试证明这个透镜的焦距  。

【解】

        根据例 7 解出的结果有 ，而两次成象时物距的差，也就是透镜两次位置间的距离 d，所以   ，化简后得出，等式两边平方后得出 L²－4 f L＝d²，即 L²－d²＝4 f L，所以   。

        或者按这样的方法来解：第一次成象时  ，第二次成象时 ，解联立方程式得出 ，代入第一次成象时的计算式中，化简后即得出   。这里的具体运算过程，大家可以自己做做看。

习题3-10

1、一个物体离开透镜 12 厘米远，成的象离开透镜的距离是 60 厘米，象成在纸屏上，问这个透镜的焦距是多大？是凸透镜还是凹透镜？透镜的焦度是多少屈光度？【f=10厘米，凸透镜，D=10屈光度】

2、上题中如果物体长是 2 厘米，那么象长是几厘米？试作出成象的光路图来检验你的答案是否正确。【10厘米】

3、物体长 4 厘米，凸透镜的焦距是 30 厘米，物体离开透镜的距离是 45 厘米，问象成在离透镜多远的地方？是实象还是虚象？象长是几厘米？【v=90厘米，实象，象长8厘米】

4、上题中如果物体放在离开凸透镜 15 厘米的地方？那么成的象将离透镜多远？象是实象还是虚象？象长又是几厘米？试作出光路图来检查你的答案是否正确。【v=－30厘米，虚象，象长8厘米】

5、凸透镜的焦距是 18 厘米，一个长 2 厘米的烛焰要放在离透镜多远的地方，才能在纸屏上得到一个长 6 厘米的象？【u=24厘米】

6、一个凹透镜的焦距是 12 厘米，要得到缩小 3 倍的象，物体应当放在距离凹透镜多远的地方？试作出成象的光路图来检查你的答案。【u=24厘米】