【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep72】实数完备性第六波定理互推（下）

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

我们在Ep61介绍了“实数完备性”的第三个定理——“闭区间套定理”：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

我们在Ep66介绍了“实数完备性”的第四个定理——“柯西准则”——

条件：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

结论：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

今天我们来从“柯西准则”推导“闭区间套原理”。

已知：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时。

求证：这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

工具：柯西收敛原理（：柯西列必为收敛数列）。

分析：构造柯西列即可。

证明——

step1：证明数列{an}，{bn}是柯西列——

1. 由条件可知，对任意n<n'，有an<=an'<bn'<=bn；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时，即对于任意小数ε>0，存在自然数N，n>N时，bn-an<ε；

3. 由1，2可知，对于任意小数ε>0，存在自然数N，n'>n>N且n">n>N时，|an"-an'|<=bn-an<ε，即数列{an}是柯西列有极限a；

4. 同理，即数列{bn}是柯西列有极限b。

step2：证明a=b——

1. 由条件可知，lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时；

2. 已知lim an=a，lim bn=b，则lim（bn-an）=lim bn-lim an=b-a=0，则b=a，记这个值为x。

step3：证明x为无限闭区间序列的公共点——

1. （反证法）假如x不是上述闭区间序列公共点，即存在自然数n0，x>bn0或x<an0；

2. 若x>bn0，即x-bn0=ε0>0，任意n>n0，bn<=bn0，则x-bn>=x-bn0；

3. 由2，对任意n>n0，x-an>x-bn>=x-bn0=ε0>0，与x是{an}极限矛盾，故而对任意自然数n，x<=bn，同理，对任意自然数n，x>=an，即an<=x<=bn，得证。

step4：证明x唯一性——

1. （反证法）假设存在x'，|x'-x|=ε'>0，对任意自然数n，也有an<=x'<=bn；

2. 由1，对任意自然数n，bn-an>=|x'-x|=ε'>0，导出矛盾，则x=x'，即满足条件的数字是惟一的，证毕。

今天就到这里！