SIF学院招生考试

数   学

时间180分钟，满分150分

姓名_________________ 准考证号_______________

名词定义

【1】属性：

卡属性/歌曲属性：有Smile，Pure，Cool共3种

卡的属性值：指这张卡在Smile，Pure，Cool栏上显示的数值

主属性：这张卡与自身属性一致的卡的属性值。

【2】打歌相关：

可能用到的加成表：

同属性加成（卡属性与歌曲属性一致时，该卡上的Note点击得分提升）：属性一致×1.1，不一致×1.0

同团体加成（卡所属团体和歌曲所属团体一致时，该卡Note点击得分提升）：一致×1.1，不一致×1.0

combo加成（连击达到一定阶段后，所有Note点击得分提升）：

1~50 ×1.0；

51~100 ×1.1；

101~200 ×1.15；

201~400 ×1.2；

401~600 ×1.25；

600~800 ×1.3；

800以上 ×1.35

长条滑键加成及判定加成均忽略不计，若无特殊说明，所有计算均视为同色同团卡组，全曲单键，ALL PERFECT，不购买任何加成以及没有任何好友应援加成。每个Note得分均为进入打歌前，统计加成后面板所写属性值除以80，再乘以各项加成后，最终四舍五入到整数。

【3】卡组强度：

属性强度：卡组进入打歌前卡组面板上显示的主属性（不考虑任何卡片属性/团体加成）

技能强度：这张卡在一首歌中发动导致的加分量的期望值，等价于没有这张卡的技能时需要达到同等分数情况下，卡组应额外增加的属性值；

（例：一张卡在500combo的歌里通过发动技能给总分平均贡献3000分，那么这张卡给每个Note提升了6分，需要卡组增加480（6*80）属性值才能得到同等分数，因此技能强度480。

卡组强度：属性强度与技能强度之和

【4】抽卡

稀有度：UR/SSR/SR/R/N，此处不考虑N

若无特殊说明，每次抽卡概率为UR 1%，SSR 4%，SR 15%，R 80%。

一次抽1张卡（下称单抽）需要5心，一次抽11张卡（下称11连）需要50心，不足50心的只能抽1张。

11连必有1张以上SR以上的卡。即如果抽到了11张R，系统则会将其中1张以上面等量概率转为SR以上的卡（转UR 5%，SSR 20%，SR 75%）。

一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知技能经验卡池，技能经验卡有UR，SR，R三个稀有度，抽卡概率UR 10%，SR 30%，R 60%。在每种稀有度下，有Smile/Pure/Cool/全属性共4种属性的卡，各稀有度内出这4种属性的概率分别为30%/30%/30%/10%。一张UR可以贡献1000技能经验，SR可以贡献100，R贡献10。每种单属性技能经验卡只能给相同属性的卡提升技能，而全属性可以给任意属性提升。那么100次抽技能经验卡，期望获得可以给Smile属性卡片提升技能的技能经验值为（  ）

A.5440      B.4080      C.1360      D.13600

2.协力活动Combo车，S级要求是达到这首歌的combo数的2.64倍。然后SSS级要求为S级的1.5倍。在3人Full combo情况下，剩下1人的combo至少达到歌曲combo数的（  ）才能得到SSS评级。

A.94%      B.96%        C.98%        D.100%

3.传统活动pt规则：每打一首普通歌曲消耗25LP，获得27个道具，并获得和道具数一致的pt。每打一首活动曲消耗75个道具，不消耗LP，获得565pt。每次打歌可以选择1~4倍消耗（LP/道具）。则打到穿奖（65000pt以上）至少一共需要打歌（ ）首（不考虑用其他难度凑数）。

A.71          B.95          C.97             D.98

4.EX旧随机谱面每个Note的下落位置在9个下落点之间完全随机选取，那么连续5个note落在同一侧（1-4号位为左侧，6-9号位为右侧。5号位不算任意一侧，只要有落到5号位的都不是同一侧）的概率是（ ）

A.1.73%    B.3.47%   C.0.86%      D.4.04%

5.Score Match的smpt计算规则为：假设进入房间时你的smpt为x，其他3人的为y1,y2,y3（这里x,y1,y2,y3均大于23500），则

①基础分：最终排名第1~4的基础分分别为80,60,-60,-80

②补正分：(y1+y2+y3-3×x)/160（四舍五入到整数）

基础分加上补正分就是你的smpt的变化量。假设进入房间时你的smpt为24000，其他3人均为25000，则最终你获得第3名时的smpt变化量是（ ）

A.+41          B.+59          C.-59          D.-41

6.已知5000日元可以购得心×86，假设人民币对日元汇率为1人民币=16日元，则氪八万人民币期望抽出UR（ ）张（不考虑机票和保底机制）。

A.40             B.44             C.48          D.52

7.Challenge Festival活动超级难度一轮一共5关，每关消耗25LP，可以选择1~4倍LP消耗打一关。第x关获得pt数为282+19x。假设不考虑其他任何加成，则各关消耗LP分别为（ ）倍时，平均获得pt最高。

A. 1,1,1,1,1 B. 4,4,4,4,4 C. 1,1,1,1,4 D.1,1,1,4,4

8.已知8速在±32ms以内为perfect，±32ms到±80ms之间的区间被判定为great，1速在±60ms以内为perfect，±60ms到±150ms的区间内被判定为great。假设某神仙任意速度打任意难度的歌稳定FC，且他8速下perfect率为90%，great判定均匀分布在great区间内，则他以同样的手法，1速的perfect率为（  ）

A.90%         B.94.17%     C.95.83%     D.98.33%

二、填空（每题5分，共30分）

9.现有2个Center技能：①全体成员Smile属性提升Smile的9%+1年级成员Smile属性提升6%；②全体Smile属性提升Pure的12%+1年级成员Smile属性提升6%。

现有一队一年级卡，则当全队基础Smile高出Pure的_______%以上时，技能①比技能②好（保留2位小数）。

10.一次活动，Smile属性刷分曲最高combo数为581，Pure属性刷分曲最高combo为596。使用卡组强度80000的卡组打Pure歌的期望分，打Smile歌需要卡组强度______才能达到同等分数（四舍五入到整数）。

11.1次11连抽到至少1张UR的概率为_____%（保留2位小数）。

12.假设Medley Festival活动，每次打歌为在一种属性里随机抽3首组合。每种属性的8首歌里Note数两两不同，定义一个属性的“最佳组合”如下：

①combo数之和为该属性能得到的最大值；

②抽到的三首歌的排列顺序从左到右严格递增。

则开局随机抽一次歌，抽到Smile属性的最佳组合的概率是_______%（四舍五入到2位小数）。

13.假设两张卡的技能：①每16combo有54%概率加2350分；②每21perfect有56%概率加3055分。则打歌Full combo，Perfect率大于等于_____%时，卡②技能强度大于卡①（保留2位小数）。

14.Challenge Festival活动，每轮歌单都有8首不同的歌，在Round 3和Round 5各有一首冲击分榜曲目，则抽到1次冲击分榜曲目需要打的Round数期望是______（向上取整）。

三、解答题（共80分）

15.（12分）假设散步拉力活动，每打5首普通曲目（任意难度）出1个隐藏曲目。

每首单倍easy难度消耗5LP，获得54pt；单倍expert难度消耗25LP，获得445pt。每次打歌可以选择LP消耗为1到4内任意整数倍，获得的活动pt也乘以对应倍数。

假设每个隐藏点可以获得1.5倍的活动pt加成和只需要80%的LP消耗。

（1）全程4倍LP消耗，求打到穿奖（160000pt以上）时需要打的歌曲数量。（3分）

（2）一次活动全程平刷，包括升级奖励、活动前累积等、在活动期间一共能积累3000LP。假设每次打普通曲目都使用1倍easy，隐藏曲目都尽可能使用4倍expert（除非最后一个隐藏点因不足4倍LP而使用较少倍数但尽可能大）。求最后能达到的活动pt值。（9分）

16.（12分）已知卡组属性强度72000，技能封印。打MF三连1701combo。

（1）求最终得分。（5分）

（2）如果第901个Note判定是Miss（该Note获得零分，combo置为0重新开始统计），其他均为PERFECT，求最终得分比较（1）的结果损失了多少分。（7分）

17.（12分）BOX卡抽卡规则为：一个盒子内初始状态为共有2张UR，8张SSR，30张SR和160张R，采取不放回抽卡方式。

当抽出1张UR卡后可以重置BOX，重置后BOX回复初始状态。

BOX卡没有11连至少1张SR的规则，只是直接从BOX中去掉11张卡。其余同开头名词定义中抽卡相关。

回答问题：

（1）假设逐一单抽BOX，求抽出1个BOX内全部2张UR时期望的抽卡数量（四舍五入到整数）（6分）

（2）假设你拥有1000颗心，求抽到UR张数的数学期望（假设每个box抽出1张UR后重置，保留2位小数）（6分）

18.（14分）现在已知抽卡规则如下：

①普通卡池：规则见开头名词定义。

②机票卡池：花费5张机票可以抽1张卡，概率为UR 20%， SR 80%。

③每在普通卡池抽1张卡，则在优等生奖励处增加1颗星星，11连可以获得11颗星星。累计10颗星星则获得机票1张，然后星星计数重置。抽机票卡池不会获得星星。

④劝退一张SR获得1个SR贴纸，劝退一张R获得一个R贴纸。2张SR贴纸可以换1张机票，30张R贴纸可以换1张机票。

回答问题：

（1）求在机票卡池中抽卡5次，至少抽出2张以上UR的概率（4分）

（2）假设抽得的SR卡和R卡全部换为机票去抽机票卡池。求抽出20张以上UR需要花费的心的个数数学期望（不考虑任何step up卡池，四舍五入到整数）（10分）

19.（14分）现有一张初期UR绘里，Cool卡，觉醒满级满绊Cool面板属性值6260。

技能1级时的效果为每20个Note就有36%的概率加525分，此后每提升1个技能等级，发动概率+3%，加分量+270，最高等级8级。

已开放技能槽数为4，现在手上有的4槽宝石有：单体属性值提升29%，全体属性提升2.4%，发动技能加分量乘2.5（下称爆分球）。宝石提升的属性值不和其他宝石以及Center加成叠加。

假设现在卡组其他8张卡，均为Cool卡，Cool属性值在统计所有加成前总和为64000，统计后属性强度72801（其他卡没有全体宝石），Center加成为Cool+15%。

打一首600combo的Cool属性的歌。

（1）假设开启技能封印，求这首歌最终得分。（3分）

（2）不开启技能封印，假设卡的技能为1级，不加入爆分球，求这张卡的技能强度（见试卷开头名词定义）（4分）

（3）计算比较当这张卡的技能等级在多少级以上时，使用爆分球效果比其他两种宝石好，说明理由。（7分）

20.（16分）已知三种Pure卡：

①10月篇SR海未，开放技能槽数为4，觉醒满级满绊Pure面板属性值5260，8级技能为每13500分就有20%的概率增加1500分。所有卡加入发动技能加分量乘2.5宝石（下称爆分球）。

②网球篇UR花阳，开放技能槽数为8，觉醒满级满绊Pure面板属性值6330，8级技能为每20combo就有55%的概率增加2895分，Center技能为属性提升15%。所有卡加入爆分球和单体属性值提升29%。

③AC卡UR花阳，开放技能槽数为8，觉醒满级满绊Pure面板属性值6350，8级技能为每31图标就有41%的概率7秒内其他卡发动率1.26倍，Center技能为属性值提升9%。所有卡加入单体属性值提升29%和全体属性值提升2.4%。假设每一次技能发动时，如果当前有技能概率UP状态存在，则保留到这次结束后再发动。

现有2队伍：【1】1张③+8张①、以及【2】9张②；打MF三连共1700combo，时长360秒，Pure属性，购买加分加成（每个Note点击得分×1.1）和技能发动率加成（每张卡发动率×1.1）。

（1）哪组打歌最终得分期望较高，说明理由。（6分）

（2）计算说明队伍【1】会不会造成技能永动（如果有1%以上的概率打歌超过1千万分，就认为会造成技能永动）（10分）