阿基米德和祖暅之求解牟合方盖体积的绝妙方法

       这是《阿基米德的方法》的最后一个命题了，本命题主要解决的是“牟合方盖”的体积计算问题。在命题的解决过程中，阿基米德依然采用了杠杆原理和穷竭法来进行分析。为此，构图创造了一系列的立体图形来辅助分析，其中有牟合方盖的外切正方体，有内接四棱锥及此四棱锥延伸后得到的大四棱锥，还有大四棱锥的外接长方体。再构造整体图形的杠杆系统，然后在立体图形的任意位置用任一平面截取截面，在截面中再截取截线段，通过截线段之间的比例关系，营造杠杆两段的平衡关系。接下来，通过线段的平衡关系，推出截面之间的平衡关系，进而叠加各个截面，形成立体图形，最终得到各立体图形之间的平衡关系。在“牟合方盖”和四棱锥、四棱柱之间建立平衡关系，最后，在四棱柱、四棱锥和牟合方盖的外切正方体之间进行等量代换，求得牟合方盖体积与其外切正方体体积之间的比例关系，从而求得牟合方盖的体积。

        对于此图形的求积问题，我国南北朝时期的著名数学家祖暅之也给出了类似的穷竭法来求体积。但是，祖暅之的方法更显得简洁明了。他是更具他会他的父亲祖冲之一起研究得出的祖氏原理（祖暅原理）来进行推算的。祖暅原理的关键描述在一句话中：“幂势既同，则积不容异。”它的意思是，两个立体图形，如果它们在相同高度的水平截面面积都是相等的，则二者的体积也是相等的。

       正是有了“祖暅原理”的夹持，很多多立体图形的体积问题的得到了顺利的解决。祖暅之用此方法不但解决了牟合方盖的体积问题，还捎带解决了球体体积问题。当然，这两位天才都不约而同的采用了穷竭法，通过平面的叠加来得到立体图形的数量关系。祖暅用下图的方法求得了牟合方盖的体积。

        在进行体积计算时，祖暅之首先将牟合方盖如上两图进行八等分，取其中的一份进行研究。通过代数方法进行推算，可以得到在等高度h处的水平截面中的红色区域具有相等的面积。所以，左图中的牟合方盖之外的体积就等于右图中的四棱锥的体积。由于两正方体的体积是相等的，则两图中的剩余部分的体积也相等，也即是左侧的牟合方盖等于右侧的除掉四棱锥后的剩余部分。由于四棱锥体积等于正方体体积的三分之一，所以剩余体积是正方体体积的三分之二。也就得到了牟合方盖体积是它的外切正方体体积的san分之二了。此外，祖暅之还用相同的方法求得了球体体积公式，如下图：

     下面还是让我们来具体看看阿基米德是如何借助杠杆原理来求牟合方盖的体积的吧！

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