【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep93】函数极限例题（二）

这几次都是书上的例题，这次的题目对之前数列极限一个结论的推广，结论要记住，以后会反复用到——

54例题

d..当a>1时，lim a^x/x=+∞，x趋向于+∞时

证——

1. 已知当a>1时，对数列lim a^n/n=+∞；

2. 那么，lim a^n/（n+1）=lim （ a^n/n）lim [n/（n+1）]=+∞，即对于任意大数E>0，存在自然数N，使得n>N，a^n/（n+1）>E；

3. 对于任意x>0，必然存在N'，使得N'<=x<N'+1，则a^N'<=a^x<a^（N'+1）；

4. 由3易得：a^x/x>a^N'/（N'+1）；

5. 复述定义：lim a^x/x=+∞，x趋向于+∞时，即对于任意大数E>0，存在Δ>0，当x>Δ时，a^x/x>E；

6. 由4,5，只要使a^x/x>a^N'/（N'+1）>E成立即可，由2可知，只要x>=N'>=N+1>N，不等式即可满足，所以取定Δ=N+1即可。

就到这里！