B站最全总结：可积？存在原函数？变限积分是否可导？

2023-05-18 16:53 作者:ddd_s 0人读过 | 我要投稿

# 不定积分与定积分概念大总结

——考研竞赛凯哥

从定义上来说，定积分 $\int_{1}^{0}f(x)dx$ 的本质是一个“**和式极限**”，它属于积分学的内容，而不定积名 $\int f(x)dx$ 视为**求导的逆运算**，故它属于微分学的内容所以，虽然 $\int_{1}^{0}f(x)dx$ 和 $\int f(x)dx$ 长得很像。但二者其实没什么关系。本身是相互独立的，直到……直到牛顿莱布尼兹公式的出现，才建立了连接二者的桥梁，是它将微分学和积分学完美的融合到了一起，即 $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

但，该公式成立的前提，是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不仅存在定积名。还存在原函数，二者只要有一个不成立，公式便不成立！

所以，我们来看看，$f(x)$ 在什么时候存在定积会,什么时候存

而变上限积分 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 和原函数 $F(x)$ 又是什么关系？

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## 一、定积分的存在性（背！）

(一)、什么样的函数一定可积?

（可积指：定积分存在。不定积分用收敛和发散形容）

可积的充分条件：

1. 闭区间上的连续函数

2. 闭区间上的单调函数

3. 闭区间上有界且只有有限个间断点的函数

可积的必要条件：闭区间上有界

(二)、什么样的函数一定不可积?

无界

## 二、原函数的存在性（背！）

(一)、什么样的函数一定存在原函数? ——闭区间上的连续函数

(二)、什么样的函数一定不存在原函数? ——导函数存在定理反过来

- 存在第一类间断点

- 存在无穷间断点

不能用上面两个结论判断有还是没有，直接暴力求原函数，求出来就有，求不出就没有

⭐️ 考场上遇到不存在第一类间断点，也不存在无穷间断点，默认有原函数

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## 回顾

可积：

不可积：

存原：

不存原：

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## 三、变限积分相关结论大总结（背！）

1. 若 $f(x)$ 可积，则 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 存在

2. 若 $f(x)$ 可积，则 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 连续

1. $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 天生连续

3. 若 $f(x)$ 连续，则 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 可导，且 $\varphi'(x)=f(x)$ ，（即 $f(x)$ 连续时，$\varphi(x)$ 是其原函数）

4. 若 $f(x)$ 有一个可去间断点 $x=x_0$ （其余点处均连续），则 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 仍可导，但 $\varphi(x)$ **⭐️ 求导以后并不是 $f(x)$** 而是 $f(x)$ 将可去间断点修复为连续点后的新函数 $h(x)$ ，**⭐️（况且，此时 $f(x)$ 本来就没有原函数）**

5. 若 $f(x)$ 有一个跳跃间断点 $x=x_0$ （其余点处均连续），则 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $x=x_0$ 不可导（左右导数不同）\*\*⭐️（况且，此时 $f(x)$ 本来就没有原函数）

6. 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 为偶函数；若 $f(x)$ 为偶函数，则 $\varphi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$ 为奇函数（**⭐️ 积分下限为 0）**

7. 若 $f(x)$ 以 T 为周期，则 $f'(x)$ 必以 T 为周期，但 $\varphi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 以 T 为周期的充要条件是——“ $\int_{T}^{0}f(x)dx=0$ ”

(4)和(5) 证明：

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