郑涛（Tao Steven Zheng）著

这道题来自秦九韶（公元1202年 - 1261年）《数书九章》（大衍类·卷二·分粜推原）。以下题解详解秦九韶的大衍求一术和大衍总数术。

【问题】

【原文】

问：有上农三人，力田所收之米，系用足斗均分，各往他处出粜，甲粜与本郡官场，余三斗二升。乙粜与安吉乡民，余七斗。丙粜与平江揽户，余三斗。欲知共米及三人所分各粜石数几何。

【今译】

问：有三位农民，耕田收获的稻米，用标准斗平均分配，各自去不同的地方卖米。甲在本郡的官方市场出售米后，剩下 3 斗 2 升。乙把米卖给安吉的村民后，剩下 7 斗。丙把米卖给平江的揽户后，剩下 3 斗。求解最初共收的米多少石，以及各位农民卖米的石数是多少石。

秦九韶给出的解法，每个市场都有不同的 “斛率”（ 容量单位）：官方市场的斛是 8 斗 3 升，安吉市场 1 石 1 斗，平江市场 1 石 3 斗 5 升。

因为 1 斗 = 10 升 和 1 石 = 10 斗 = 100 升，此问题的线性同余式组：

求最小正整数解。

【题解】

一、求定数

此问题的模数（modulus）是，秦九韶称之为“问数”。因为这些问数都是自然数，它们又被称为元数。问题的余数（remainder）是 。

注意第二个和第三个问数不是互质（coprime）的，因为110和135都有公约数5。秦九韶使用 “连环求等” 来简约一些非互质问数。此问题简约第三个。新的问数叫 “定数”：。因为 ，第三个余数更新为 3。所以， 。

随后，新线性同余式组问题是：

二、求衍母和衍数

首先计算 “衍母” ，衍母等于定数相乘。

用衍母除各定数得衍数 。

三、求乘率

求奇数 （此题有三个）， 其中满足 。

秦九韶使用大衍求一术来解每个同余式 ，其中 叫“乘率”。

这里解释如何用大衍求一术解 。

步骤一：立天元、奇数、定数。

步骤二：用大衍求一术把天元推算成乘率。

这道题的乘率为 。

四、求用数和总数

“用数”为 ：

“总数” 等于用数乘余数之和 ：

五、求最小正整数解

因此，每个农民卖的米总量为 24600 升或 246 石，总量为 738 石。

秦九韶给出的答案

【原文】

答曰：共米，七百三十八石。三人分米，各二百四十六石。

甲粜官斛，二百九十六石。

乙粜安吉斛，二百二十三石。

丙粜平江斛，一百八十二石。

【今译】

答：共米的总量是738石，由三人平分，即得每人246石。

利用官场的斛数，甲卖出296石。

利用安吉的斛数，乙卖出223石。

利用平江的斛数，丙卖出182石。