稳恒电流1
逻辑上是跟前面一样的：Maxwell方程+Lorentz力公式+特定性假设。平时研究电路的时候很少从底层的Maxwell方程出发推导，而是直接基于宏观规律来推。本文尝试一下从最底层、最微观出发推导。
首先，稳恒条件下，E和B都不随时间变化，Maxwell方程+Lorentz力简化为：（下面记为假设(0)）
Remark:
跟静电场不同，现在有电流，也有磁场，只不过不随时间变化。
第二个式子说明电势的概念仍然存在。（这个最关键）
所谓“稳恒”跟“静”的概念区别，类似于“化学平衡”和“细致平衡”的区别。
图像上来看，无非是电荷散发出电场，电流周围环绕着磁场。
第二步，仔细研究一下电流是怎么回事。在导体中，电子可以自由流动，在电场驱使下就会朝一个方向定向移动。电流密度定义为：
它刻画的是导体中电子场的流动，就跟水流一样。其在一个曲面上的积分就是我们平时说的电流强度：
电流强度的物理含义是单位时间通过\Sigma的电量（这点可以从连续性方程看出）。其单位安培（A）是国际单位制中七个基本单位之一。
电荷守恒定律说明电流满足以下连续性方程：
对于稳恒电流，\rho不随时间变化，于是我们发现在Maxwell方程的基础上还要加上假设(1)：
也就是电流没有源。它必须是绕成一圈在跑，形成闭合曲线。
Remark: 实际上不应该纳入这条假设，因为Maxwell方程可以推出电荷守恒（可以自己推导一下！）。所以假设(1)无非是稳恒性和Maxwell方程的推论。这里只是列为一个中间结论。
第三步，仔细研究一下电阻是怎么回事。
电场到底是如何驱使电子跑起来的？电子本身再不断热运动(dB_t)，在统计上不会产生漂移。如果没有任何阻力，电子应该会匀加速地跑（当然不会无限加速，一是有相对论限制，二是会辐射能量）。但是实际上，电子还会与原子实碰撞，于是实际上运动是先加速，然后碰撞散射（转变为内能），再重新朝着原来方向加速。假设电子碰撞后各向同性散射，于是统计上可以看作是静止的。如果我们再假设电子的碰撞可以看成一个Poisson过程，其强度为\lambda。基于这两个假设，电子的速度这个随机过程平均意义上就是aE/(m\lambda)。也就是说平均意义上可以看成匀速运动。
因此，我们可以引入另一个特定性假设（假设(2)，微观Ohm定律）
其中的\sigma为电导率。这当然只是一个线性近似，取决于材料本身。对于非线性元件就没有办法这么假设了。
Remark: 逻辑上来说，假设(2)=Lorentz力公式+碰撞假设。
更常用的是宏观的Ohm定律。假设一个圆柱形的电阻，通一个匀强电场E，则电流为
这就是宏观的Ohm定律。\rho为电阻率，即电导率的倒数。所以说欧姆定律并不是什么本质性的东西。
可以感受一下电阻率的数值大小：
往上的适合做导线，往下的适合做电炉。
电导率，或者说电阻，刻画的另一个方面就是电磁场能转化为内能的能力。单位时间内，I/e这么多电子通过，每个电子消耗的电磁场能为eU，它一开始转化成动能，但是平均意义上从头到尾动能没变，于是eU最终变成了内能。产生内能的功率为I/e*eU=IU，也就是我们熟悉的Joule定律。
穿插估算一下电子定向漂移的速度和热运动速度的大小。
热运动很好算，
对于定向漂移的速度，假设在铜导线上加上E=1V/m的电场，则电子运动速度为
这是个极其缓慢的速度（只比分针快一点）。
Remark: 闭合开关的时候，电场以光速传播，使电路内每个电子（近乎同时）开始运动。但是电子运动速度很慢，如果电子大到肉眼可见，我们甚至看不到它在动，要好几分钟才能察觉到它在动。这和我们的直觉是相违背的。
就像封闭系统只能达到细致平衡，仅仅有静电场不能维持稳恒电流（否则E积分一圈正比于j积分一圈，不等于0，与\nabla\times E=0矛盾），必须要有电源提供非静电力。
电源可以想像成一个用镊子强行把电荷逆着电场方向夹过去的装置，也就是把机械能/化学能->电子动能和电磁场能（回想能量的连续性方程）。镊子就是非静电力（简单点干脆想像成机械力）。这样就变成了一个非封闭系统，由外界提供能量。用这个微观图像来思考问题。
单位正电荷上的非静电力，即镊子的力，记为K。之后讨论这个K到底是怎么来的。
加上电源之后，就要加另一个特定性假设，记为假设(3)：
第一个式子是Lorentz力公式加上一个外力。但是一般用的参数不是这个外力，而是第二个式子定义的电动势E。
Remark: 电动势虽然是电压单位，但在物理意义上，它跟电压完全是两回事：它反映的是镊子的力有多大。
假设(3)加上微观Ohm定律的逻辑论证，得到假设(3')，其实就是微观Ohm定律加上外力项：
基于以上基本假设，对电路的分析。比如说，计算一下电源的路端电压。完全按照基本假设来。
首先，根据Maxwell方程，我们知道存在电势U。如果有一个从电源负向向正向有电流I，则
这就是我们在高中熟知的公式，只不过现在是从基本假设推出来的。同理我们也可以证明，电流I通过一个电阻R，电位下降IR。同时，电源可以视为理想电源和电阻的串联。类似的方法可以讨论更复杂的电路。
稳恒电路中的电荷分布，以及E、B场是长什么样的？
首先，
也就是说，导体内部没有净电荷，净电荷只分布在表面（或者导体的不均匀处）。要注意，系统中有两种电荷，原子实和电子，这里只是说在导体内部，这两个电荷量相等。
然后，在导线内部，电流都是朝着一个方向的，所以场强也都是朝着一个方向的。这说明场强是均匀的（可以用\nabla\cdot E=0和\nabla\times E=0证明）。所以，导线内的场强是均匀的，电流密度也是均匀分布的。
Remark: j=\rho v，有人会想不通，\rho=0了，j怎么会非零？实际上应该区分原子实和电子，二者的总和为0.原子实不动，而电子定向运动，产生非零的电流。
而对于导线外的电磁场，因为取决于导线的摆放方式，一般是求不了的。我们一般关注的也只有导线内部。
电路问题。
首先我们要搞清楚什么叫求解一个电路。就像求解Maxwell方程一样，最终解出来的结果应该是E(x)和B(x)。对于电路，我们只关心导线内部的电场，而这个电场正比于电流密度。所以我们只需要解出所有的电流。这就是求解电路的最终目的。至于其它量，比如电位差，产热功率等等，只要有了电流就都能算。说白了，本质上还是一个求解Maxwell方程的过程。
我们只考虑有若干（理想）电源和电阻的电路。这个电路可以有很复杂的拓扑结构。一般的求解方法是Kirchhoff定律：
1.所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。这是电荷守恒的推论，所以可以归结到Maxwell方程。
2.沿着闭合回路所有元件两端的电势差（电压）的代数和等于零。这直接就是Maxwell2的推论。
Remark:
1.Kirchhoff定律完全是Maxwell方程的推论。虽然Kirchhoff自己不是这么推出来的。当然我们做题的时候不用回到Maxwell方程，而是直接utilize这个方便的工具。
2.Kirchhoff定律是完全的。也就是说，它能求解所有拓扑结构的电路。Theoretically，所有电路问题已经解出来了。
3.假设电路有n个节点和p条支路。Kirchhoff第一方程总共有n-1个独立的，Kirchhoff第二方程总共有n-p+1个独立的。
4.求解之前记得在每个支路上规定好电流的正方向。
5.本质上，或者说数学上去理解：Kirchhoff定律就是把Maxwell方程这个偏微分方程转化成了一个完全代数的线性方程组。这在数学上是非常痛快的。
至此，电路问题已经完全解决，列出方程扔进Mathematica即可。至于其他的应用、技巧、推论，以后慢慢写；无非是trick性质的，本质性的东西已经讲完了。
最后总结一下这套理论的逻辑。Maxwell方程+Lorentz力公式+特定性假设。
图像上来说，就是这样的：空间中有一个电流的环流，它是稳恒的【特定性假设1】。环流产生电磁场，按照Lorentz力的方式作用于环流的其它部分。同时空间中还存在另外一个力场K，同样驱使着电流。在电磁场的力与K的共同作用下【特定性假设2】：
电荷维持着环向运动。电子在运动中因为不断碰撞【特定性假设3】，所以在统计上是匀速的，其速度为
从而达到一个稳恒状态。
从这个图像/逻辑出发就可以得到所有东西。最终我们把Maxwell方程在特定性假设下等价转化了Kirchhoff方程，就可以完全地求解一个电路。
