蒙日圆的推导（参数方程法）

2022-09-20 12:39 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

椭圆的两条正交切线的交点轨迹为一个圆（蒙日圆）.

证明：设椭圆 $%5CGamma%20$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ ，

设两条切线 $l_1$ 、 $l_2$ 的倾斜角分别为 $%5Calpha%20$ 、 $%5Cbeta%20$ ，其交点为 $P%5Cleft(%20m%2Cn%20%5Cright)%20$ ，故 $l_1$ 、 $l_2$ 的参数方程分别可设为

$l_1$ ： $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x%3Dm%2Bt%5Ccos%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%09y%3Dn%2Bt%5Csin%20%20%5Calpha%20%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ （ $t$ 为参数）；

$l_2$ ： $%5Cbegin%7Bcases%7D%09x%3Dm%2Bt%5Ccos%20%5Cbeta%20%20%2C%5C%5C%09y%3Dn%2Bt%5Csin%20%5Cbeta%20%20%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$ （ $t$ 为参数）；

联立椭圆 $%5CGamma%20$ 与直线 $l_1$ ，得

$%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5E2%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin%20%5E2%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20t%5E2%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2m%5Ccos%20%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B2n%5Csin%20%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20t%2B%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-1%3D0$ ，

因椭圆 $%5CGamma%20$ 与直线 $l_1$ 相切，所以

$%5CvarDelta%20%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2m%5Ccos%20%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B2n%5Csin%20%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5E2-4%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5E2%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin%20%5E2%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-1%20%5Cright)%20%3D0$ ，

即

$%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5Ccos%20%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5Csin%20%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5E2%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin%20%5E2%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-1%20%5Cright)%20%3D0$

…… $%5Coplus%20$

同理可得

$%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5Ccos%20%20%5Cbeta%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5Csin%20%20%5Cbeta%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5E2%5Cbeta%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin%20%5E2%5Cbeta%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-1%20%5Cright)%20%3D0$

…… $%5Cotimes%20$

又因 $%5Cbeta%20%3D%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D$ ，所以

$%5Csin%20%20%5Cbeta%20%3D%5Csin%20%5Cleft(%20%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%3D%5Ccos%20%20%5Calpha%20$ ，

$%5Ccos%20%20%5Cbeta%20%3D%5Ccos%20%5Cleft(%20%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%3D-%5Csin%20%20%5Calpha$ ，

将上述两式代入 $%5Cotimes%20$ ，可得

$%5Cleft(%20-%5Cfrac%7Bm%5Csin%20%20%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5Ccos%20%20%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5E2%5Calpha%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5E2%5Calpha%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-1%20%5Cright)%20%3D0$

…… $%5Codot%20$

$%5Coplus%20%2B%5Codot%20$ 得

$%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7Ba%5E4%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bb%5E4%7D-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-1%20%5Cright)%20%3D0$ ，