给好友们和飞天意面大神复制的一些大基数构造

不可达基数是强弱不可达基数的统称。如果κ是不可数的、正则的极限基数，则称κ是弱不可达基数；如果κ是不可数的、正则的强极限基数，则称κ是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数(或不可到达基数)，也有文献只把强不可达基数称为不可达基数。不可达基数的概念是波兰数学家谢尔品斯基(Sierpiski，W.)和波兰学者塔尔斯基(Tarski，A.)于1930年引入的。由于任何基数λ的后继基数λ+不超过λ的幂2λ，所以每个强不可达基数必为弱不可达基数；又由于在广义连续统假设GCH之下，λ+=2λ，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数。之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们。事实上，若κ是强不可达基数，又集合X的基数|X|<κ，则幂集P(X)的基数也小于κ；又若|S|<κ，且对每个X∈S，|X|<κ，则|∪S|<κ。这就是说，由小于κ的基数，无论进行何种运算，总达不到κ。可数无穷基数N0也具有上述两条性质，因此，也可以说在有限基数的范围内，用除去无穷公理之外的任何集论运算，N0也是“不可到达”的。这就清楚地看出，不可达基数确实是无穷基数0的一种自然推广。

马洛基数：

如果k是一个马洛基数，那么其之下的不可达基数将构成「驻集」，上述的那些迭代层级通过过滤，不论多么高的层级，永远会停留在驻集之中，这个驻集远大于整个不可达之处却远小于最小的最小的马洛基数。

弱紧致基数：

对于一阶逻辑语言的扩张Lλμ，即对任意α<λ，允许语句的α次合取∧ξ<αΦα和或取Vξ<αΦα仍作为一个语句；以及对任意β<μ，允许语句中出现β次存在量词∃ξ<βxξ和全称量词∀ξ<βxξ；若 Lκκ的字母表仅含有κ个非逻辑符号，并且 Lκκ的子集（语句集）T 存在模型（一致）当且仅当 T 的每个基数<κ的子集∑都存在模型（一致），则称κ是弱紧致基数。

不可描述基数：

基数K称为∏n

m-indescribable如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α<κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n

m-indescribable的基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。

如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。

强可展开基数：

形式上，基数κ是λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的传递模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个将M的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临界点为κ且j(κ)≥λ。

一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数λ都是λ可展开的。

基数κ是强λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数 κ 的传递模型 M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个非-将M的j简单基本嵌入到传递模

型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列。

可迭代基数：

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。

拉姆齐基数：

让[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果

对于每个函数， 基数κ实际上

被称为Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ<κ，需要有序类型λ的f的同质集。

可测基数：

为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的

补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。

形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α<λ的基数λ<κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)

强基数：

如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和

Vλ⊆M

也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

伍丁基数：

f : λ→λ

存在一个基数κ<λ和

{f(β)|β<κ}

和基本嵌入

j : V→M

来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M

一个等效的定义是这样的：

λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的

A⊆V_λ存在一个λ_A<λ这是<λ-A-strong的

超强基数：

当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和

V_j(κ)⊆M

类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro

Kanamori已经表明，对于每个n>0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。

强紧致基数：

当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。

强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。

强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧

的。

强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。

可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

莱因哈特基数：

Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点

j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.

还有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。

伯克利基数：

Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：

对于包含κ和α<κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α<临界点<κ. Berkeley 基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。

作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的

j 1，j 2，j 3....j 1 : (Vκ，∈)→(Vκ,∈), j 2 :（Vκ，∈,j 1 )→(Vκ,∈，j 1 )，j 3 :(Vκ,∈，j 1 ,j 2 )→(Vκ，∈,j 1 ,j 2 )

等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。

对于每个序数λ，存在一个ZF + Berkeley 基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。