day1头疼但还是坚持一下

2023-02-18 23:49 作者:RIP_Official 0人读过 | 我要投稿

$2)$ 证明:由线代知识, $C(G)%3D%5C%7BkI%7Ck%5Cin%20Q%5C%7D$ ,想构造同态 $%20%20%5Cphi%20%3AA%5Cin%20GL_2(Q)%5Cto%0AM%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%26f(%5Cvert%20A%5Cvert)%5C%5C%0A0%261%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright)$ ,

使得 $%20%20%5Cphi%20%3AkI%5Cto%0AM%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%26f(k)%5C%5C%0A0%261%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5Cnotin%20C(G)$ .

由这种构造的要求,只需要 $f$ 是一个 $Q%5E%5Ctimes$ 到 $Q%5E%2B$ 的非 $0$ 同态,

这是存在的.比如考虑 $%5Cvarphi%3Ap%5Er%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5Cin%20Q%5E%5Ctimes%5Cto%20r%5Cin%20Q%5E%2B$ (其中 $r$ 是素因子 $p$ 的次数, $a$ , $b$ , $p$ 互素)

$%5Cvarphi(p%5E%7Bk_1%7D%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Bb_1%7D)%2B%5Cvarphi(p%5E%7Bk_2%7D%5Cfrac%7Ba_2%7D%7Bb_2%7D)%3Dk_1%2Bk_2%3D%5Cvarphi(p%5E%7Bk_1%2Bk_2%7D%5Cfrac%7Ba_1a_2%7D%7Bb_1b_2%7D)$ ,