［科学梗］实数真正的定义与戴德金分割简介

本文部分改编自：大老李聊数学（音频）：S2E07.戴德金分割和 “ 连续 ” 的实数

一般来说一个具体区间内的有理数集包含无穷多个元素，因为有理数具有稠密性。简单来说，两个有理数A和B，A和B之间的有理数有哪些呢？首先至少（A+B）/2是一个有理数，然后我们又发现（A（（A+B）/2）/2）是一个有理数，二分法的大致原理也就是这样。也就是说，对于任意大于1的正整数m，有(A+B/m)是一个属于（A,B）的有理数。

那么戴德金分割又是什么梗呢？我们知道我们可以将整个有理数集分成两个集合A和B。其中A中的任意一个元素a，小于B中的任意一个元素b。换句话说就是A中元素的最大值小于B中元素的最小值。这个时候我们把A称为下组，B称为上组，一般记为A|B。

那么我们怎么去划分呢？很简单。首先我们找一个实数a，然后我们规定：小于a的有理数构成集合A，大于等于a的有理数构成集合B。或者小于等于a的有理数构成集合A，大于等于a的有理数构成集合B。我们不难发现：当a是有理数的时候，总有一个集合有最值，但当a是无理数的时候，两个集合就都没有最值了。这样，所有满足使得两个集合都没有最值的数a所构成的集合就是无理数，无理数和有理数的并集也就是实数。教科书上的“无理数的定义是无限不循环小数”这一说法其实是错误的。

那么为什么无理数的定义不能是教科书的说法呢？那是因为定义必须是实际可判定定理。也就是说如果无理数的定义是无限不循环小数，那么我们就能通过这个定义来判断一个数是不是无理数，也就意味着我们要把这个无理数的小数点后面的数一个一个写出来。但无论我们写出了多少位，我们得到的小数点后的数字都是有限的，因此它不能作为无理数的判定定理，也就更不能作为定义了，但它可以作为无理数的一个性质。

当然，除了戴德金分割之外，我们也可以想象着这么去定义实数：一切满足平方大于等于0的数是实数，或者一切可以比较大小的数构成实数。因为虚数是不能比较大小的，就像向量一样。这些定义的毛病我还真没找到，因为我能力和学历都不够。如果这篇文章有人看并且知道这两个定义的不足之处，那么我希望你可以告诉我，然后我写一篇新短文。

事实上“实数的平方是非负数”这个命题的证明，我是没有查到的，不过我们可以想办法理解这个命题。首先正数的平方是正数，0的平方是0，那么对于一个负数，首先我们假设正数a的相反数是（－a），那么（－a）的平方如果小于0，那么－(－a）的平方就大于0，展开来就是－(－a）·(﹣a）大于0，根据乘法的交换律，我们知道上式等价于a·（﹣a）大于0，即一个正数乘一个负数大于0。那么为什么－（－a）就等于a呢？因为相反数的相反数是它本身，就像“敌人的敌人是朋友”一样。那么为什么乘法具有交换律呢？这个在《几何原本》第7卷命题16中有介绍，我不重复。这也就像我在早期的文章里提到的那样，《几何原本》就像是数学界的《圣经》一样，对数学狂热爱好者们的要求是每一条命题在哪一卷命题几都要能背出来。