Pacejka魔术公式——（3）转向制动联合工况轮胎力学原理

虽然各自分析了Fy,Mz和Fx的线性区和饱和区，看似考虑全面，拓展了考虑范围，实则不然。因为这些力、力矩均是在轮胎接地的“巴掌大”的面积上的水平应力引起的，是互相耦合的。在一般工况下可以分立讨论，但是要想进一步突破束缚，真正在物理约束下进行车辆动力学控制，研究其内在的耦合关系是至关重要的。

其实理论并不复杂，中学物理就可以进行解释：摩擦力方向与相对运行或相对运行趋势相反。

要得到地面给轮胎的摩擦力，首先就要得到轮胎接地段相对于地面的运动（其实就是绝对运动）。绝对速度(轮胎滑移速度)=牵连速度(轮胎中心随车身的运动速度)+相对速度(车轮定轴转动)。轮胎滑移速度无法直接测量，我们就靠测量车身速度、横摆角速度得到轮胎中心随车身的运动速度，测量车轮转速得到接地处的线速度。

PS：尽信书则不如无书，Pacejka虽然是轮胎力学的大佬，这篇论文也有1000+的引用量，但是我认为Fig.13是错的，这里Pacejka认为Vs(滑移速度)+Vr(轮胎转速)=V(轮胎中心速度)。我第一看的时候就有怀疑，好在又发现了斯坦福大学Goh的论文，Goh的这个图应该是正确的。

在分立讨论Fx和Fy时，自然而然的考虑滑移率κ和侧偏角α作为自变量，得到Fx-kappa和Fy-alpha的关系。

但是为什么定义这些量作为自变量进行研究呢？

之前提到过，轮胎力本质就是地面提供的摩擦力，也就是要研究轮胎的相对速度（滑移速度）。滑移速度对应着这里轮胎产生了多大的形变，也就能够产生多大的力。

如上图，容易看出其实kappa和tan(alpha)有相似的格式，分子为滑移速度分量，分母为轮胎纵向速度(纵向滑移速度+轮胎转速)。为什么以kappa和tan(alpha)作为自变量考察轮胎力，似乎无从考证，可能百年前有人评经验认为的，不管怎样kappa和tan(alpha)是体现轮胎接地段滑动的合理的量。

kappa和tan(alpha)是合理的量，但是并不足够合理，根据上面的分析，两个量其实是有耦合关系的。

首先，基于轮胎各向同性的假设，定义滑移量如下

这样就去除了kappa和tan(alpha)的耦合关系，σx和σy分别独立体现两个方向上的滑移。

由前面分析，得到滑移后最直接的就是得到了力（与相对运动——滑移，方向相反），即

新的表征滑移的量σx，σy和κ，tan α关系也容易导出，如下

这里更能够体现出κ，tan α是相互耦合的，而σx，σy是给它们解耦了。

进一步，就可以讨论具体轮胎横纵向异性的特性了（前面假设各项同性），也就是把横纵向合力F(σ)变成纯转弯的极限Fyo(σ)和纯制动的极限Fxo(σ)

这时，式（15）也要进行相应的修改了，变成式（18）

搞清楚轮胎横纵向分力分解的原理（纵横向滑移速度决定），接下来就是计算具体值了，Fyo(σ)和Fxo(σ)其实就是第（1）和（2）部分介绍的分立测试工况下得到的。纯转弯得到Fy(α,Fz,γ)，纯制动得到Fx(κ,Fz,γ)，而α，κ又可以得到σx，σy。经过变换，Fy(α,Fz,γ)和Fx(κ,Fz,γ)很容易得到Fyo(σ,Fz,γ)和Fxo(σ,Fz,γ)。

这样，初步的联合工况轮胎力学模型就得到了。下面是Fyo(σ,Fz,γ)和Fxo(σ,Fz,γ)

与纯转弯和纯制动相比，联合工况下，相当于两个方向的力都进行了削减。因为纯转弯Fy即是合力，纯制动Fx即是合力，同时有转弯和制动（驱动）时，两者按照接地段滑动速度分量进行衰减。