考研数学05：从洛必达法则到导数极限定理

   上一节详细介绍了极限计算中的洛必达法则。这一节不妨用洛必达法则计算一个极限：

由连续条件可以得出该极限是0比0型，符合洛必达第一个条件。f（x）去心邻域可导,分母求导为1，因而符合洛必达第二个条件。所以可以对极限1使用洛必达法则：

我们使用洛必达之后可以发现，原极限1就是f(x)在x0处的导数定义，极限2则是导数在x0处的极限。于是一点导数与导函数极限的关系借助洛必达法则联系了起来。一点导数是洛前极限，导函数极限是洛后极限。

而根据洛必达法则的结论，我们可以得出：当函数f(x)在x0处连续，去心邻域可导时，有：

这就是导数极限定理。导数极限定理探究了一点导数和导函数极限的关系。但是导数极限定理存在两个前提：1是连续，2是去心邻域可导。因为不满足这两个条件就无法使用洛必达法则。因而探究一点导数与导函数极限的关系必须在两个前提满足下再讨论才有价值。

导数极限定理其实严格意义上是讨论单侧的，不过对考研帮助不大。并且证明是用的中值定理。大家有兴趣可以自行查阅资料。