《新高掌》——函数篇个人总结 3

2023-08-29 20:28 作者:Krinpt 0人读过 | 我要投稿

前言：

这是第三个总结，本来打算昨天写的但是昨天没精神，这个总结应该不会太完整，因为我现在就没精神(。_。)。

1.3 函数的解析式

函数的解析式，作为天天浸泡在题海的学生来说，是再熟悉不过的东西。这类问题有个坑就是要注意定义域，比如自变量作分母，如果不写它分也就没啦~。

1.3.1 待定系数法

在初中阶段，我们会经常听到老师说待定系数法，因为一般的函数问题都会用到它。如果你不知道这是啥的话，举例先——

【自编 1】已知二次函数f(x)经过A(1,0), B(2,0) ,C(0,5)三点，求函数f(x)的解析式。

这种问题我们都知道，只需要写下“设解析式为f(x)=ax^2+bx+c“，再将这几个点代入即可求得，那么这种解决方法就叫”待定系数法“。

辣么，上例题！——

【例 1.11 Ⅱ】已知 $f(x)%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2-x%7D$ 。设k>1，解关于x的不等式 $f(x)%3C%5Cfrac%7B(k%2B1)x-k%7D%7B2-x%7D$ .

啊，我们很容易就可以得出 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2-x%7D%3C%5Cfrac%7B(k%2B1)x-k%7D%7B2-x%7D$ ，这时候我们可能就会把两边底下的分母去了，但是你要知道，我们并不知道这个2-x的正负性，因此会很麻烦，所以我们要考虑把右边的移到左边来，因此可以得到

$%5Cfrac%7Bx%5E2-(k%2B1)x%2Bk%7D%7B2-x%7D%3C0$ ，

先看分子，可以很容易地因式分解（十字相乘法）成(x-k)(x-1)，进而

$(x-2)(x-1)(x-k)%3E0$ ，

解释一下为什么成这b样了：因为上下都是单项式，且这整个分式小于零，所以上下异号，所以将分母转化为其相反数（成为分子的同号），再相乘就是大于零了（同号相乘除为正）。

显而易见地，这是个一元三次不等式，然后就要分类了——

Ⅰ 当1<k<2时， $x%E2%88%88(1%2Ck)%E2%88%AA(2%2C%2B%E2%88%9E)$ ；

Ⅱ 当k=2时， $x%E2%88%88(1%2C2)%E2%88%AA(2%2C%2B%E2%88%9E)$ ；

Ⅲ 当k>2时， $x%E2%88%88(1%2C2)%E2%88%AA(k%2C%2B%E2%88%9E)$ 。

啊简单吧~，这是最最最最最简单的一种题型，下面的例子就是涉及多种情况的题目，只需要注意别少情况了就好了~。

1.3.2 换元法

这种方法也是很常用的了~，书上给的举例就是复合函数：令t=g(x)，再反解出x，然后代入f(g(x))的解析式中，得到f(t)，进而得到f(x)。但是也有反解不能的题目，比如下面的——

【例 1.13】已知 $f(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D$ ，求f(x)的解析式。

啊这种问题呢，如果令t=x+1/x，辣么就反解不出来x了，所以我们要另辟蹊径——

我们知道， $(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%5E2%3Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%2B2$ ，所以我们就设 $t%3Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$

，则 $t%5E2%3Df(t)%2B2$ ，所以 $f(t)%3Dt%5E2-2$ ，可得 $f(x)%3Dx%5E2-2$ 。

这时你可能会写或者根本不会写定义域为 $(x%E2%89%A00)$ ，但是写跟不写，都一样，没有分。为什么呢？

我们看到形如 $ax%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bx%7D$ 的玩意就会不自觉的套用基本不等式上去，这题也是，自变量是 $x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ，辣么我们就会用这玩意，得出 $%7Cx%7C%E2%89%A52$ （因为x的符号不知道）。

故填 $f(x)%3Dx%5E2-2$ $(%7Cx%7C%E2%89%A52)$ 。

书上说，这种法有人叫做配凑法。但是有一定的局限性，因为不可能每一题都可以用。所以我们看看变式——

【变式 1.13.2】若函数 $f(%5Cln%7Bx%7D)%3D3x%2B4$ ，则函数 $f(x)$ 的解析式为_____。

依照前面给出的基本思路，我们只需令 $t%3D%5Cln%7Bx%7D$ ，则 $e%5Et%3Dx$ ，所以

$f(t)%3D3e%5Et%2B4$ ，即 $f(x)%3D3e%5Ex%2B4$ 。

简单吧~。

1.3.3 方程组法

书上一来就给了一个看起来很复杂的方程组，让我一头雾水，但是仔细一看，欸，其实不难，就让我来解读解读⑧。

就酱，遇到符合的小题可以直接套用👍，话不多说，看例题——

【例 1.15】已知 $f(%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B2x-1%7D)-2f(x)%3Dx$ ，则 $f(x)$ =_____。

实战了~，先看g(g(x))，发现等于x，直接用——

$f(x)%3D%5Cfrac%7B-2x-(%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7B2x-1%7D)%7D%7B4-1%7D%3D%5Cfrac%7B4x%5E2-x%2B1%7D%7B3-6x%7D$ 。

答案就是这个，不过要注意的是，a值是原式f(x)的系数，即-2，b值是f(g(x))的系数，即1，不要弄混了哟。

那么g(g(x))≠x怎么办？请看——

【例 1.16】已知 $f(x)%2Bf(1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%3D1%2Bx(x%E2%89%A00%2Cx%E2%89%A01)$ ，求 $f(x)$ 。

因为 $g(g(x))%E2%89%A0x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D$ ，辣么，我们来到了解题重点——尝试 $g(g(g(x)))$ 的运算，经过一系列的运算可以发现（千万别带错式子），这个等于x，所以我们需要列出一个方程组，当然，两个方程式不够的，需要联立三个，也就是把x替换成g(x)和g(g(x))。