实变函数漫谈(2)集合的基数

  整数和有理数一样多吗？

  有理数和无理数一样多吗？

  平面上的点和直线上的点一样多吗？

  第一个问题很容易解释，有理数可以看作两个整数的组合，所有整数被看作一条直线上的格点，有理数就可以看作是平面上的格点，想象你手里有无穷多个围棋子，你可以将它铺满一条直线上的格点，也可以将它铺满整个平面的格点，只要你一圈一圈的往外排，无论多远的点总有一天可以排到，所以有理数其实是和整数一样多的。那么怎么解释无理数比有理数要多呢？从有理数到无理数的过程其实是极限，用有理数的极限来定义无理数，或者说一个无理数其实对应于一个有理数的序列，所以我们面临的是无穷维空间上的格点，它还能用围棋子慢慢的填满吗？其实是不能的，你可以填满二维的格点，是因为二维空间一圈需要的围棋子数量是,三维空间一层需要的数量是。这都是有限的数，无穷维空间的一个超球面上的格点数量就不是有限数了，所以你只能铺满一层而无法进入到下一层，我给出的这个视角虽然不是严格的论证，因为严格的论证在任何一本教材上都有，但是给到你的是无穷维空间和有限维空间有着根本的区别，这点在泛函分析里面是想当重要的。

  下面试图建立一个自然数和单位区间的关系，单位区间上的数就是开头的小数，无限不循环小数对应了无理数，循环和有限小数对应了有理数，可以发现一个二进制小数对应了自然数集合的一个子集：如果某个位数是，这个位数就放入该集:

也就是说实数和整数的幂集对应，所谓幂集就是集合的所有子集构成的集合。其实任何集合都无法和自己的幂集对等，这是任何一本教科书都会有的证明。

  平面上的点和直线上的点是一样多的，其实这很容易证明，一个平面上的点有横纵两个坐标，将它们分别放入奇数位置和偶数位置，就构成了一个实数，也就是得到了一个平面到直线的单射。