不一样的解析几何——用解析法解决古希腊“三线轨迹”问题

各位读者大家好！这里是立志成为什锦区UP主的星弦之海-Aurora。

关注我，这里一定有你感兴趣的内容~

阅前须知：

本文所用到的超出高中范围的知识有

隐函数求导

三阶行列式计算

线性规划（新高考地区不学）

二次曲线形状判定（UP会做简单说明）

正式开始之前，先给大家介绍二次曲线形状判定。

对于方程,引入以下参量

其基本内容如下

那么我们上车吧！

不知道大家在学习高中数学解析几何的时候有没有在课本上看到过这样一句话：

“圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时的人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广……”

以阿波罗尼斯为代表的一批几何学家系统地总结了圆锥曲线的性质，同时也探索了了许多饶有趣味的问题。

这其中就包括所谓的“三线轨迹”和“四线轨迹”问题：

三线轨迹：

求 到两条定直线的距离之积与到第三条定直线距离的平方之比为定值的点的轨迹形状

四线轨迹：

求 到两条定直线的距离之积与到另外两条定直线距离的成绩之比为定值的点的轨迹形状

我们以三线轨迹为例进行介绍。

下图是几何法对这一问题的证明,大家看看就好：

在这里给大家给出三线轨迹问题的解析法证明，有兴趣的小伙伴可以探究一下四线轨迹问题

为确保具有高中及以上知识水平的读者们都能看懂，我将尽可能采用高中范围内的知识进行推导。

在desmos中绘制出三条直线：

接下来我们点亮一处区域：

按照条件绘制出图形：

似乎还真有点像圆锥曲线，现在来写轨迹方程。

先给大家看看Δ的化简过程：

自上而下依次为：

我们在此基础上适当延伸，对这个看似复杂的方程进行解构

：

那么同理也可证明另一条直线与圆锥曲线相切。

这个性质还可以进一步延伸。

由于时间精力有限，UP的探索到这里就暂且告一段落了（毕竟用线代研究圆锥曲线方便得多，而UP作为准大一暂时没有接触线代，所以相当一部分内容只能大量计算）

如果大家对三线问题感兴趣可以继续探究哦~