# 多目标规划

多目标规划-简介

• 既要XX,又要XXX

(非)线性规划都是一个目标函数，例如工业生产两种产品，追求录大化利润。

例如：某工厂生产产品I和产品Ⅱ，有关数据如下，若只追求最大化利润，得到**模型**：

max z =8*x_1+10*x_2,%最大化 利润z

s. t.%三条约束

2*x_1+x_2≤11，%所用原材料不超过拥有量

x_1+2*x_2≤10，%设备生产能力不超过现在拥有量

x_1,2≥0%同时生产产品i和ii

• 但现在有3个**目标**：

1.尽量使产品I的产量不超过产品I的产量：

2.尽可能充分利用所有设备：

3.尽可能使利润不少于56万→目标约束

• 注意：目标1是“不超过”，也就是尽量“≤”;
• 目标2是“充分利用”，也就是尽量“=”;
• 目标3是“不少于”，也就是尽量“≥”
• 需要衡量每个目标的完成情况，并主观上区分三个目标的重要性，使得整体的完成情况尽量好。

• 精髓：需要衡量每个目标的**完成情况**，并主观上区分三个目标的**重要性**，使得**整体的完成情况**尽量好
• 引入三个概念：正负偏差变量，绝对约束和目标约束，优先因子

1、衡量每个目标的完成情况：正负偏差变量

设f_i为第i个目标函数

正偏差变量d_i^+表示实际值超过目标值的部分，负偏差变量d_i^-表示实际值未达到目标值的部分，这里d_i^0表示f_i的目标值

例如本题目标3：尽可能使利润不少于56万，那么d_3^0=56

• 该目标利润超了超了目标更好
• 尽量不小于=负偏差变量d_3^-越小越好

绝对约束和目标约束

• 绝对约束是模型中自带的约束条件
• 绝对约束必须满足，否则是不可行解
• 例如2*x_1+x_2≤11，%所用原材料不超过拥有量

目标约束（cue：尽可能）是模型中对不等式右端追求的值允许有偏差

• 目标3：尽可能使利润不少于56万，也就是z =8*x_1+10*x_2≥56但允许有偏差
• 这个“偏差”就是加入正负偏差变量，变成8*x_1+10*x_2+d_i^- -d_i^+ = 56
• 利用了允许的“偏差”即正负偏差变量，多退少补，把目标函数变成了等式约束条件

优先因子

• 1,尽量使产品I的产量不超过产品Ⅱ的产量：2.尽可能充分利用所有设备：3.尽可能使利涧不少于56万
• 这三者到底哪个重要？常要主观确定优先P_k（大水词：经相关文献参考）
• 例如，我认为目标3最重要，给他优先因子是10；目标2第二重要，给他优先因子5；目标1第三重要，给它优先因子是1。那么三个目标重要性之比足10:5:1

第一个目标要求不超过目标值，意味着正偏差变量d_1^+越小越好

多目标规划模型