Q：今有物不知其数三三数之剩二五五之剩三七七之剩二问物几何？

此所谓孙子定理或中国剩余定理。声明一下，我高三学生，请不要用小学方式解答本题，告诉我答案是23，我要的是方法。大概涉及到大学的数论和同余问题。现对此问题进行拓展，如果这个数字在1000以内，求它的全部可能解。设共有W个该物体，则有
W≡2(mod)3
W≡3(mod)5
W≡2(mod)7
这种表示方法该如何解方程组

A1：

小学奥数的数论板块就有这部分内容，我尝试用小学奥数的方法讲解（小学生都能懂）——

设自然数W满足以下4个条件——

0＜W＜1000，W≡2(mod 3)，W≡3(mod 5)，W≡2(mod 7)

也就是说，自然数W在0到1000之间，并且是一个除以3余2、除以5余3、除以7余2的数，那么——

W＝ 3x＋2＝5y＋3＝7z＋2 ……①

（x、y、z为自然数）

我们先来解整数不定方程：3x＋2＝5y＋3

两边模3得——

2≡2y (mod 3)

y≡1 (mod 3)

令y＝3m＋1 ……②

（m为自然数）

把②代入①得——

W＝5(3m＋1)＋3＝7z＋2

W＝15m＋8＝7z＋2 ……③

接下来我们继续解整数不定方程：15m＋8＝7z＋2

两边模7得——

m＋1≡2 (mod 7)

m≡1 (mod 7)

令m＝7n＋1 ……④

（n为自然数）

把④代入③得——

W＝15(7n＋1)＋8

W＝105n＋23 ……⑤

当自然数n取0时，W＝23，是满足条件的最小整数解．

接下来在(0,1000)的范围内求解，即解不等式——

105n＋23＜1000，解得n≤9．

将n＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别代入⑤式，即可求出W的全部10个解：

23、128、233、338、443、548、653、758、863、968．

A2：

注意到W除以3余2，除以7也余2，那么可以化同余为整除——

W＝ 3x＋2＝7z＋2

W－2＝3x＝7z

W－2＝3×7×k

（k为自然数）

W＝21k＋2 ……①

又因为W除以5余3，有——

W＝21k＋2＝5y＋3

解不定方程：21k＋2＝5y＋3

两边模5得——

k＋2≡3 (mod 5)

k≡1 (mod 5)

令k＝5s＋1 ……②

（s为自然数）

把②代入①得——

W＝21(5s＋1)＋2

W＝105s＋23

当自然数s取0时，W＝23，是满足条件的最小整数解．

接下来在(0,1000)的范围内求解，即解不等式——

105s＋23＜1000，解得s≤9．

将s＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别代入⑤式，即可求出W的全部10个解：

23、128、233、338、443、548、653、758、863、968．