能力水平鉴定的数学模型

比如我们有一张数学考卷，总共10个题，难度分别为1-10。

假如我的能力水平为7，大于7的题我都不会做，小于7的题目我都会做。

然后V代表对，X代表错，我的答题状况是VVVVVVVXXX，V代表对，X代表错，所以我的能力水平被鉴定为7。

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实际考试中，我的能力水平为7，并不意味着大于7的题我都不会做，小于7的题目我都会做，有可能有10%的难度6的题我不会做，10%的难度为8的题我会做。我的做题对错是一个概率分布，按照难度，这个概率值递减。为了概率分布计算，我们假设题目的难度也不是离散的，是0-无穷的实数，难度可以无穷大，但是能力水平最高依然只能判定为10。

那么我的能力水平到底对应哪个数学变量呢？

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为了好理解，我这里换一个例子。

用英语单词举例。我的能力水平就是我所掌握的单词总数。

但很显然能力水平也可以有其它的数学量，我们按照单词的实际出现频率百分比给所有单词排序。然后把我所掌握的单词的频率百分比加起来，然后得到一个百分比值，也可以作为能力水平指标。

但是，百分比值并没有单词总数有参考价值，这是因为99%和99.9%中间可能差了几千个单词。

能力水平鉴定结果需要符合人类的直觉认知，所以我们还是使用单词总数这个指标。

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如何得到能力水平鉴定结果？

我们回到最前面最简化的模型上来。

前面说我的答题状况是VVVVVVVXXX。前面7个V的期望是4，中位数也是4。后面3个X的期望是9，中位数也是9。这里我们假定期望并不适合作为能力水平鉴定结果挂钩，所以后面不考虑期望的问题，只考虑中位数。我们能不能使用4得到7这个数字呢？

我们会做的题目难度的中位数已知，求我们的能力水平。

在这个数学模型下很简单，4+(4-1)，中位数加上一半的区间宽度。

同理，也可以通过“不”会做的题目难度的中位数已知，求我们的能力水平。

（题外话：9-(9-1)-1。再减1 是因为其实我们的能力水平应该取7和8的中间值，但是这里取了7，假如我们的题目难度视作连续的，也就不存在再减1的问题。）

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为了容易理解，回到英语单词的模型上来。

我们知道，所有单词书都不是严格卡着单词词频取词的。

比如一本单词书是3500词，意味着有些词在词频表中超越了3500，有些则正好相反。

我们也可以把自己看作一本单词书。

这里有三个变量，分别对应7，4，9。

一个是我所掌握的单词的个数，一个是我所掌握的单词的中位数，一个是我所未掌握单词的中位数。

7是需要穷举获得的，获得的成本很高，假如模型是连续的或者数学题目是无穷多的，穷举甚至不可能实现。

文章到这里，你应该就明白本文要做什么。

我们可以通过少量统计样本，近似获得4或9，我们要通过4或9得到7！

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题外话：

单词书中的单词在词频表中的分布是离散的，也是有规律的。词频高的词我们掌握的可能性很高一点，低频低的词则正好相反。

我们画一个概率分布图，横轴为词频表上第几个单词，纵轴为我们掌握该单词的概率。

对于我们人来说，这个曲线应该是一个单调递减曲线，假设这个分布服从类似于指数分布的分布吧。

单词书有的是从a开始的初阶单词书，也类似于指数分布；有的是从abandon开始的中阶单词书，类似于对数正态分布；我还有一本高阶单词书是从adalone开始的，更接近于正态分布。

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回归到479的问题。

从4到7的过程中，引入了一个值，4加半个区间宽度等于7，这个区间宽度是什么？

首先VVVVVVVXXX是一个阶跃函数，阶跃函数有一个值不为0的区间，从而有区间宽度。

刚才提到三个分布，指数分布，对数正态分布，正态分布，它们并不同于阶跃函数。

于是产生一个问题，对于指数分布，对数正态分布，正态分布，它们的7是个什么东西？

单词书中往往都会提一个东西，叫你背会我这个单词书，你的单词量能达到多少多少，这个值就是7。中高阶单词书默认你已经了解了一定的单词量，如果补上这些单词，我会假设它更像偏移了Y轴的指数分布。所以主要还是要考虑指数分布。

初中高阶单词书你也可以用数学类比看作，加减乘除，解方程组，抽象代数。

刚才写到一句话，“这里我们假定期望并不适合作为能力水平鉴定结果挂钩，所以后面不考虑期望的问题，只考虑中位数”，为什么？

指数分布的期望和中位数是不同的，中位数大概是0.693倍的期望值（0.693是ln2的近似）。期望值计算过程中极端样本值会对结果影响很大，中位数处于样本50%的位置，直觉上也更加合理。

这里强调一下，前面两次提到了“直觉”，所以能力水平鉴定是一个带有感性的数值，在一件感性的事情上过度追求小数点后几位的精确是没有意义的。

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7是指数分布的中位数，那4是什么？9又是什么？

首先VVVVVVVXXX是一个阶跃函数，并非指数函数。其次刚才提到一句话“如果补上这些单词，我会假设它更像偏移了Y轴的指数分布”。什么叫“偏移了Y轴的指数分布”。意思是把它看成指数分布，你的横轴起点并不是难度1，而是你默认前面难度已经完全掌握了，你从这个难度开始看作指数分布。4是阶跃模型下的概念，在指数分布的概念下，4就是7。

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留一个思考题：9是不是7呢？

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上面这个题目翻译一下。

就是你在你不会的单词中随机抽取一个样本，然后按词频表顺序，获得一个中位数，这个中位数能不能代表你的单词量呢？

假设你选取一本初级单词书，从其中你在你不会的单词中随机抽取一个样本，这个样本的中位数会不会和你选取一本中级单词书、和你选取一本高级单词书的中位数相等呢？