小电影，小题目，不小的套路 MRN的数学之旅 第3篇

up因为喜欢看日本电影（滑稽），对某些电影中出现的日本高考题印象深刻，所以，up去寻找了一些真题来体验了一下，结果…（欲知后事如何，请看下文）

本次题目：

翻译：

（x是正实数），在坐标平面上有3个点A(0,1),B(0,2)P(x,x),(考察ΔAPB，当x的值变化时)，求∠APB的最大值。（注：黑体部分为出处的翻译，括号中的部分为up个人补充（bian zao），up不懂日语，如果有误请原谅。以下解答按出处翻译进行。）

俗话说，题目的长度和难度成反比。所以这道题的难度肯定会相当大。它的问题非常直接，所以我们的第一反应，是直接表示出∠APB，然后求最值。这种硬♂上的做法固然可行，但计算量可观。我在这里给出思路，大家可以自己尝试一下。

那么，有没有简洁明了的方法呢？事实上，这道题并不难，甚至只有初中难度（在这里说的是思路，不是计算过程），而且这种方法并不难想到。

要想到这种方法，首先我们要做出准确的图形，方便测量（滑稽）。

接下来，我们要在直线上找出一点P'使得∠AP'B≥∠APB恒成立，再计算出∠AP'B即可。问题是：P'在哪里呢？如果我们一个一个试的话，找到它的概率比在■■■■■■■■■■中学看到女装大佬的概率还要低，所以试是不行的，要另辟蹊径。（皮一下很开心）

注意到

因此我们作过A,B的圆，与y=x相切于P'，圆心为O（注意，这里的切点有两个，我们取在第一象限的那个，因为，我们可以证明，当x为任意实数时，仍有∠AP'B≥∠APB恒成立）再计算出一些东西，我们可以知道

接下来，就要到最激动人心的时刻了，我们先插播一段广告。不要走开，广告之后更加精彩（滑稽）

通过上面的讨论，我们可以近乎显然地得出以下结论：

∠AP'B＞∠AP''B(圆周角大于圆外角)

∠AP'''B＜∠BP'''P'+∠ABP'''=180°-∠BP'P'''-∠ABP'=45°

因此，∠APB的最大值为45°.

后记：使用Desmos，我们可以轻松求出开头那个函数的最小值

来源：知乎专栏：来看看日本高中的高考数学都考些啥？本题为2010年京都大学高考第三题（理科），所用方法灵感来自该处评论区。

盲目硬♂上伤身体，合适方法才保命。（滑稽）

By MRN,2019.5.2