充分统计量含义与因子分解定理的应用

2023-08-12 00:10 作者:莲子下摸鱼 0人读过 | 我要投稿

充分统计量

仅为个人理解，谨慎参考，如有谬误欢迎指出

直观含义:

随机抽取10件产品(产品不合格率为p)。(检验目的:得到产品不合格率p)得到结果1:不合格，0:合格 $%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%20%201%26%201%20%26%200%20%26%200%20%26%200%5C%5C%0A%20%200%26%20%200%26%20%200%26%20%200%260%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D$ 。汇报检验结果有几种选择:

"第一件产品不合格，第二件产品不合格，第三件产品合格,.....,第十件产品合格。"显然这种汇报方式虽然详细，但是不够精简，没有简化数据。
"10件产品中共有2件不合格品。" $T_1%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7B10%7Dx_i%20%3D2%20$ 。这样报告既没有损失重要的信息，又足够简单，即满足了充分统计量的要求。
"前两件产品不合格", $T_1%20%3D%20x_1%2Bx_2%3D2$ ，这就损失了部分有关于不合格率p的重要信息，只汇报了前两件，而后八件产品的情况不明，显然不能作为充分统计量。

分布层面对充分统计量分析:

设总体分布函数 $F_%7B%5Ctheta%7D%20(x)$ 已知，但参数 $%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%5Ctheta%20%7D%20$ 未知。我们把确定分布的问题归结为未知参数 $%5Ctheta$ 的估计问题。由此，从总体得到一个样本 $x%20%3D%20(x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n)$ ，得样本分布函数:

$F_%7B%5Ctheta%7D%20(x)%20%3D%20%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En%20F_%7B%5Ctheta%7D%20(x_i)$
为了估计 $%5Ctheta$ ，我们构造一个统计量 $T(x)$ .如果统计量T的抽样分布 $F_%5Ctheta%5ET(x)$ 和样本分布 $F_%5Ctheta(x)$ 所含信息量一样，则统计量T(精简汇报)就可以代替样本x(产品一个一个汇报)从事统计推断。
那么如何去证明统计量是充分统计量呢？

验证思路：

$p_%5Ctheta(x)$

统计量T取值为 t ，可以看做条件分布 $P_t%3DP%5Cleft%20%5C%7B%20X_1%3Dx_1%2CX_2%3Dx_2%2C...%2CX_n%3Dx_n)%7CT%3Dt%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 。

设想:

如果 $P_t$ 经计算得到结果，会受 $%5Ctheta$ 影响(含有关于 $%5Ctheta$ 的信息)。这就反向说明统计量 $T(x)$ ，并没有完全包含 $%5Ctheta$ 的信息，它不够充分。
如果 $P_t$ 最后结果是不含 $%5Ctheta$ 的一个常数。则说明统计量 $T(x)$ 具有充分性。

综上所述:证明统计量 $T(x)$ 是否具有充分性，其关键就是证明 $P%5Cleft%20%5C%7B%20X_1%3Dx_1%2CX_2%3Dx_2%2C...%2CX_n%3Dx_n)%7CT%3Dt%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 得到的结果是否与 $%5Ctheta$ 有关。

例:我们使用一个服从两点分布的总体 $X%5Csim%20B(1%2Cp)$ .从中取出样本量为n(n>=2)的样本 $x_1%2Cx_2%2C...%2Cx_n$ .检验两个统计量 $T_1%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_i%20%2CT_2%3Dx_1%2Bx_2$ 。

首先，两点分布的分布函数 $(x%3D0%2C1)P(X%20%3D%20x)%3Dp%5Ex(1-p)%5E%7B1-x%7D$

由此可得，样本的联合分布 $P(X_1%3Dx_1%2CX_2%3Dx2%2C...%2CX_n%3Dx_n)%3Dp%5E%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%7D(1-p)%5E%7Bn-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%7D$
第二统计量 $T_1(x)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i$ 的分布，即为(n重伯努利试验)服从二项分布 $B(n%2Cp)$

得统计量 $T_1(x)$ 的分布 $P(T_1(x)%3Dt)%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%20n%5C%5Ct%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%0Ap%5Et(1-p)%5E%7Bn-t%7D$
最后,再 $T_1%3Dt$ 的条件下，样本的条件分布为:

$P(X_1%3Dx_1%2CX_2%3Dx_2%2C..%2CX_n%3Dx_n%7CT%3Dt)$

$%3D%5Cfrac%7BP(X_1%3Dx_1%2C...%2CX_n%3Dx_n%2CT_1%3Dt)%7D%7BP(T_1%3Dt)%7D%20$

$%3D%5Cfrac%7BP(X_1%3Dx_1%2C...%2CX_%7Bn-1%7D%3Dx_%7Bn-1%7D%2CX_n%3Dt-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7Dx_i%20)%7D%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%20n%5C%5Ct%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%0Ap%5Et(1-p)%5E%7Bn-t%7D%7D%20$

$%3D$ $%5Cfrac%7Bp%5Et(1-p)%5E%7Bn-t%7D%7D%7B%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%0A%20n%5C%5Ct%0A%5Cend%7Bpmatrix%7D%0Ap%5Et(1-p)%5E%7Bn-t%7D%7D%20%7D%20%3D(C_n%5Et)%5E%7B-1%7D$
其中计算过程

$P(X_1%3Dx_1%2C...%2CX_%7Bn-1%7D%3Dx_%7Bn-1%7D%2CX_n%3Dt-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7Dx_i%20)$

$%3Dp%5E%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%20x_i%7D(1-p)%5E%7Bn-1-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7Dx_i%20%7Dp%5E%7Bt-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7Dx_i%20%7D(1-p)%5E%7B1-t%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7Dx_i%20%7D%0A$

$%3Dp%5Et(1-p)%5E%7Bn-t%7D$
这样的结果表面，条件分布的结果与 $p$ 无关，所以统计量 $T_1(x)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i$ 的充分性得到验证， $T_2%3Dx_1%2Bx_2$ 就不在这里验证了。

关于充分统计量的定义:

有一个分布族F={X}

在给定T=t的情况下，样本x的条件分布与总体分布X无关，则称T为此分布族F的充分统计量.

在给定T=t的情况下，样本x的条件分布与参数 $%5Ctheta$ 无关，则称T为参数 $%5Ctheta$ 的充分统计量.

所以上述得到验证的统计量T1既可以称为两点分布 $B(1%2Cp)$ 的充分统计量，也可以成为成功概率 $p$ 的充分统计量.

因子分解定理简单说明:

若存在一个充分统计量 $T%3DT(x)$ ,那么得到一个样本，样本分布 $p_%5Ctheta(x)$ 一定可以分解为两个因子的乘积，其中一个因子与参数 $%5Ctheta$ 无关，仅仅与样本x有关；另一个因子与参数 $%5Ctheta$ 有关，但是 $%5Ctheta$ 与样本x的关系，一定要通过充分统计了 $T(x)$ 表现出来。

$p_%5Ctheta(x)%3Dh(x)g_%5Ctheta(t)$

例题:

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