等比数列与等差数列是“同构”的

牛顿213、等比数列与等差数列是“同构”的

 

数列（百度百科）：…

 

等差数列

 

定义

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

…common：adj.（形容词）常见的；通常的；普遍的；共有的；共享的；共同的；普通的；平常的；寻常的；平凡的

n.（名词）公共用地；公地；（学校、大学等的）学生公共食堂…

…difference：n.差别；差异；不同（之处）；变化（之处）；差；差额；意见分歧；不和…

…S：sum首字母…

…sum：n.金额；款项；和；总和；总数；全部，一切（尤指数量不大）

v.（动词）归纳；总计；总结，概括…

 

通项公式

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

 

an=a1+(n-1)d

其中，n=1时 a1=S1；n≥2时 an=Sn-Sn-1。

 

等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项。有关系：A=（a+b）/2。

…简、单、简单：见《伽利略13》…

（…《伽利略》：小说名…）

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

 

前n项和

 

倒序相加法推导前n项和公式：

…推、导、推导：见《欧几里得7》…

 

Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n个）=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)/2。

（等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。）

等比数列

…比：见《欧几里得27》…

 

定义

 

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

…ratio：n.比率；比例…

…q：quotient首字母…

…quotient：n.商（除法所得的结果）…

 

等比中项

 

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

通项公式

性质

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

 

一个各项均为正数的等比数列 各项取同底对数后 构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂

，则是等比数列。

…对、数、对数：见《牛顿133~135》…
…构、造、构造：见《牛顿59》…

…幂：见《欧几里得113》…

 

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

应用

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

 

等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×（1+利率）^存期。

…^：乘方…

“数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

请看下集《牛顿214、微积分的基础概念——数列极限》”

 

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