S5Q3 影剧中的数学：用复数作几何变换
今天我们的解謎片段，取自《成就天才的妻子，~世界公认的数学家与妻子的爱》
这部片的是描述日本数学家冈洁(1901--1978)，研究领域为多复变函数论，解决了多复变函数论中的三大难题（我也不是很懂）。这部影片的切入点就如同片名，在这沉迷于数学的数学家背后，有个妻子愿意支持与陪伴。这部剧拍的当然比较戏剧，开头就用个解谜问题，来显示这数学家的才智。这解谜的关键就是「把没有的当做有」。其实就是假设未知数的思维。
1 遗产中的藏宝图讯息
在这段中提到的问题重新改写如下：
从地藏菩萨 (S) 往水井 (A) 走一段距离，接着右转 90 度，再走相同的距离，把这点记为 C。
再回到地藏菩萨 (S) 往稻荷神 (B) 走一段距离，接着左转 90 度，再走相同的步数，把这点记为 D。
遗产就埋藏在 C, D 两点的中点。现在已经不知道 S 的位置，那可求出 X 的位置吗？
以下为这段的视频对话截图，来欣赏导演如何铺陈这问题。
2 开挖宝藏
在不知道 P 点的位置，如何确定 S 的位置呢？ 关键就在于先「作假设再作推论」。由下图的 GGB 课件中可观察到， X 的位置不会随 S 而变。X 一直位在 以 A, B 为斜边的直角三角形的直角点上。
通过以上的计算后，冈洁就开始挖掘。
3 用复数来解谜
第三段从计算的式子中可看到冈洁在分析这个不动点的过程使用到了复数的运算。最主要是利用 AC 与 AS 等长且夹角 90 度，所以 C = A+ i*(S-A)。而 BD 与 BS 等长且夹角为 -90 度，所以 D = B - i*(S-B)。
整理最后可得到 X= (C+D)/2 = i ，也就是 X 不依赖于 S 的位置。这段巧妙地利用复数来作旋转的变换，让计算式更显得简洁。
最后，再让大家浏览此段相关的对话，提到那关键思维：把没有的当成有的。
原来复数也可这样用来找东西，数学真的很有用！
4 用 GGB 的复数运算作几何变换
最后，来到本次的任务，要用 Geogebra 的复数运算的功能来实践以上代码，这次的操作相对简单，主要就是熟悉用复数来作几何运算的功能。将平移用 + - 来实现，而伸缩旋转利用乘法来实现。
S = 0 - i
A = -1 + 0*i
B = 1 + 0*i
C = A + i*(S-A)
D = B + i*(S-B)
若完成以上课件后可以挑战以下动态展示的效果。
小结
这节使用复数的运算来作坐标的几何变换，并解决电影中的不动点藏宝谜题，这次的任务相对简单，主要是感受 GGB 支援复数来处理几何问题。这个问题也可以用初中的平面坐标来假设未知数作些分析，但用复数来论证显得更简洁。
相关连接
【GGB1】https://ggb123.cn/m/fz3gydpj
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