【数学竞赛】调和点列（2）

2022-03-27 17:13 作者:Rotas-math_lover 0人读过 | 我要投稿

阅读本篇文章你需要知道的知识有：三角函数、调和点列的概念和性质12、公切线、鸡爪定理、角平分线定理、内切圆和旁切圆、弦切角定理、正弦定理

二.调和点列的性质

性质3

对线段 $AB$ 的内分点 $C$ 和外分点 $D$ ，以及直线 $AB$ 外一点 $P$ ，给出如下四个论断：

（1） $PC$ 是 $%E2%88%A0APB$ 的平分线；

（2） $PD$ 是 $%E2%88%A0APB$ 的角平分线；

（3） $C%E3%80%81D$ 调和分割线段 $AB$

（4） $PC%E2%8A%A5PD$

以上四个论断中，任意选取两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题

这里只证明了三个比较典型的情况，其余三种可用类似的方法证明

推论4 三角形的角平分线（线段）被其内心和相应的旁心调和分割

推论5 不相等且外离的两圆的圆心联线被两圆的外公切线交点和内公切线的交点调和分割

推论6 若 $C%E3%80%81D$ 调和分割圆的直径 $AB$ ，则圆周上任一点到 $C%E3%80%81D$ 两点的距离之比是不等于1的常数；反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数，则该动点的轨迹是一个圆（阿波罗奥尼斯圆）

这三个推论都比较简单，请读者自行证明

推论7 从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点联线垂直于这条联线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割

推论8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交（即交点处的切线互相垂直）

推论9 设点 $C$ 是 $%5Ctriangle%20AEF$ 的内心，角平分线 $AC$ 交边 $EF$ 于点 $B$ ，射线 $AB$ 交 $%5Ctriangle%20AEF$ 的外接圆于点 $O$ ，则射线 $AB$ 上的点 $D$ 为 $%5Ctriangle%20AEF$ 的旁心的充要条件是 $%5Cfrac%7BAC%7D%7BCB%7D%3D%5Cfrac%7BDO%7D%7BOB%7D$

推论10 设 $%5Ctriangle%20AEF$ 的角平分线 $AB$ 交 $EF$ 于 $B$ ，交 $%E2%96%B3AEF$ 的外接圆于点 $O$ ，则 $OE%5E2%3DOF%5E2%3DOB%C2%B7OA$

推论10也比较简单，这里也就不再赘述

性质4

三角形的一边被其边上的内（旁）切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线

推论11 若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边延长线的交点、这一边上的内切圆切点，调和分割这一边

这个推论也不证明了（将四边形补成三角形即可）

性质5

从 $%E2%8A%99O$ 外一点 $A$ 引圆的割线交 $%E2%8A%99O$ 于 $C%E3%80%81D$ ，若割线 $ACD$ 与点 $A$ 的切点弦交于点 $B$ ，则弦 $CD$ 被 $A%E3%80%81B$ 调和分割

推论12 从 $%E2%8A%99O$ 外一点 $A$ 引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边形的对角线相交于点 $B$ ，设直线 $AB$ 交 $%E2%8A%99O$ 于 $C%E3%80%81D$ ，则 $A%E3%80%81B$ 调和分割弦 $CD$

性质6 设过 $%E2%8A%99O$ 外一点 $A$ 任意引一条割线交圆周于点 $C$ 及 $D$ ，则点 $A$ 对于弦 $CD$ 的调和共轭点 $B$ 的轨迹是一条直线

ps：这里点 $B$ 的轨迹叫做 $A$ 对于 $%5Codot%20O$ 的极线，点 $A$ 叫做这条极线的极点

推论13 $%E2%8A%99O$ 的一对共轭极点 $A%E3%80%81A'$ 调和分割直线 $A%E3%80%81A'$ 截 $%E2%8A%99O$ 的弦

推论14 设圆内接凸四边形 $ABDF$ 的两双对边 $AB$ 与 $FD%E3%80%81AF$ 与 $BD$ 的延长线分别交于点 $C%E3%80%81E$ ，若点C对于圆的极线交圆于 $P%E3%80%81Q$ ，点E对于圆的极线交圆于 $S%E3%80%81T$ ，则过点 $P%E3%80%81Q$ 的两切线的交点为 $AD$ 与 $BF$ 的交点 $G$ 关于弦 $ST$ 的调和共轭点