向量的平方为何用点乘运算而非叉乘运算？

如题，要解决上述问题，那么就要了解叉乘和点乘各自的几何意义。

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点乘的几何意义

：某一向量在另一向量方向上的投影长度并乘以后者的模。

注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)。

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叉乘的几何意义

：叉积的长度|

a

×

b

|可以解释成这两个叉乘向量

a

，

b

共起点时，所构成平行四边形的面积。

注意：叉乘的结果是一个向量。

继续回到问题，我们可以通过几何意义来思考，那么现在就有如下解决思路： 1.首先，任何向量自身叉乘得到的结果恒为

0

，如此一来，若需证向量的平方是叉乘运算，则完全说不通，没有意义。 2.其次，任何向量自身的点乘得到的结果可以看做是向量自身长度的平方，因为向量对自身的投影长度还是本身，因此，从这个角度就可说明，向量的平方应该是点乘运算。 不过以上观点并没有严格的证明方法来提供支持，思路仅供参考。