量子场论（七）：复标量场的正则量子化、U(1)整体对称性

复标量场不满足自共轭条件：

自由复标量场的拉格朗日量为：

其中是复标量场的质量。与线性独立，是两个独立的变量。考虑到：

代入拉格朗日方程就可以得到场算符与它的厄米共轭都满足克莱因-高登方程：

可以将复标量场分解成两个实标量场的组合：

经过简单的运算后，拉格朗日量化为：

可以知道，复标量场的拉格朗日量等于两个质量相同的实标量场的拉格朗日量之和。

相应地，共轭动量密度为：

哈密顿量密度为：

由于复标量场满足克莱因-高登方程，自然也可以平面波展开：

由于不满足自共轭条件，所以和之间没有什么关系，引入记号：

故平面波展开式变为：

替换成动量记号，则：

取厄米共轭，得到：

和是两个独立的湮灭算符，和是两个独立的产生算符。

共轭动量密度为：

等时对易关系为：

也可推出产生湮灭算符的对易关系为：

U(1)是幺正群，群元可以是全体模为1的复数。对复标量场做U(1)整体变换：

那么拉格朗日量是不变的。这就是U(1)整体对称性，其中称为U(1)荷。相应的U(1)守恒流为：

它是一个厄米算符：

U(1)守恒荷为：

第二项是零点荷。可见，和描述荷为的粒子，称为正粒子，和描述荷为的粒子，称为反粒子。复标量场描述一对正反标量玻色子。除负无穷大的零点荷，总荷是正粒子的荷与反粒子的荷之和。这里单粒子的荷对总荷的贡献是相加性的，而且来源于一种内禀对称性，因此是一种内部相加性量子数。反粒子的所有内部相加性量子数都与正粒子相反。

实标量场的荷反粒子与正粒子相同，因此实标量场描述纯中性标量玻色子。

经过类似的推导，复标量场的哈密顿算符为：

总动量算符为：