【数学基础51】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

2. 双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；

3. 性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

4. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

5. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

6. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
   

7. 矩阵乘法运算律——
   

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

8. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

9. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

10. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

11. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

12. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

13. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

14. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。

15. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

16. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

17. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试证明下述不等式：[（x+1）/2]^（x+1）<=x^x（x>0）.

证：

1. 两边分别取对数：左边=（x+1）[ln（x+1）-ln 2]，右边=x lnx；

2. 作差：令f（x）=（x+1）[ln（x+1）-ln 2]-x lnx；

3. 求导：f'（x）=ln（x+1）+1-ln 2-ln x-1=ln（x+1）-ln 2-ln x=ln（1+1/x）-ln 2；

4. 当0<x<1时，f'（x）>0，f（x）递增，当x>=1时，f'（x）<=0，f（x）递减，于是f（x）在x=1时取到最大值；

5. f（1）=0，则（x+1）[ln（x+1）-ln 2]<=x lnx，所以[（x+1）/2]^（x+1）<=x^x.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

化简（a+2b-c）[（a-b）x（a-b-c）].

解：

1. （a+2b-c）[（a-b）x（a-b-c）]

   =（a+2b-c）（axa-axb-axc-bxa+bxb+bxc）

   =（a+2b-c）（-axc+bxc）

   =[（b-a）xc]（a+2b-c）

   =（（b-a），c，（a+2b-c））

   =（（b-a），c，a）+（（b-a），c，2b）-（（b-a），c，c）

   =（（b-a），c，a）+（（b-a），c，2b）

   =（b，c，a）-（a，c，a）+（b，c，2b）-（a，c，2b）

   =（b，c，a）-（a，c，2b）

   =3（a，b，c）.

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

设A是数域K上的n级矩阵，证明：如果n是奇数，且A满足AA'=E，|A|=1，那么|E-A|=0.

证：

1. |E-A|=|A'A-EA|=|（A'-E）A|=|A'-E||A|=|A'-E|=|（A-E）'|=|A-E|=-|E-A|，则|E-A|=0.

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