【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第十一章简单机械

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】 

§11-3杠杆

【01】简单机械的类型有很多种。但是从它们的结构来看，基本上可以分为两大类。一类是由最简单的杠杆发展出来的，称为杠杆类简单机械，如滑轮、轮轴等。另一类是从最简单的斜面发展出来的，称为斜面类简单机械，如劈、螺旋等。

【02】现在我们先来讨论杠杆类简单机械，并且先从杠杆谈起。

【03】在§11·1中，我们已经讨论过杠杆做功的情形，并且从实验得到，或  。

【04】现在让我们再用第九章中所学到的知识来进行讨论：杠杆在 F 和 P 的作用下，匀速地绕着 O 点（即转轴通过 O 点，一般叫它支点）转动，也就是杠杆处在动平衡状态。根据平衡条件，动力 F 的力矩应该等于阻力 P 的力矩，这就是上面这个关系式的物理意义。式中 L₂ 是动力 F 到 O 点的垂直距离，叫做动力臂。L₁ 是阻力 P 到 O 点的垂直距离，叫做阻力臂。

【05】由此可见，在不计无用阻力的情形下，动力的力矩等于有用阻力的力矩。这就叫做杠杆原理。一切杠杆类型的机械都遵从这个原理。

【06】杠杆可以分为下列三类。

【07】第一类是动力 F 和有用阻力 P 分别在支点的两边（图11·4）。这类杠杆的机械利益，可以大于1、等于1或小于1。所以既可以省力，也可以反而费力。例如，理发用的剪刀，刀口很长（即L₁大），它的机械利益小于1；这是因为剪发本来不需要多大的气力，刀口长一些，能够剪得快一些和齐一些。又如剪金属片用的剪刀，刀口很短，它的机械利益远大于1；这是因为金属很硬，刀口短，刀把长，可以少化一点气力。

【08】第二类是支点和动力分别在有用阻力的两边（图11·5）。这一类杠杆的机械利益总是大于1，所以总是省力的。

【09】第三类是支点和有用阻力分别在动力的两边（图11·6）。这一类杠杆的机械利益总是小于1，所以总是反而费力的。例如捕鱼用的网，因为要鱼网出水快，宁可多费一点气力。

例1.图11·7是用铁撬撬石的情况，O 为支点。如果 P 为126公斤，L₁ 和L₂ 分别为20厘米和140厘米。求作用力 F 和机械利益。

【解】根据题意，阻力 P＝126公斤，阻力臂 L₁＝20厘米，动力臂L₂＝140厘米，求动力 F  。用力矩原理得 F×140＝126×20，∴ F＝126×20/140＝18公斤。

        机械利益为 A＝P/F＝L₂/L₁＝140/20＝7  。

例2.图11·8所示水压机的机械效率是80%，两个活塞的面积分别为 S＝500厘米²和 S'＝5厘米²，杠杆短臂的端点和小活塞相连。杠杆长臂和短臂的比值是9。如果在杠杆长臂的端点加上一个力 F＝10公斤，问大活塞受力多大？本题有两种解法。

【解1】用功的原理解：假定杠杆部分没有无用阻力，则根据力矩原理，作用在小活塞上的力 F' 为 F'×1＝10×9，即 F'＝90公斤。

        再假设小活塞在力 F' 的作用下下降了一段距离 h'，则大活塞将升高一段距离h  。由于可以把液体的体积看作是不变的，因此，S'h'＝Sh，所以。

        在这段路程上，小活塞下降，F' 所做的功（即动力功）是 F'h'；大活塞上升，反抗阻力 P 所做的功（即有用阻力功）是 Ph＝Ph'/100 根据机被效率的定义，得，所以 P＝100F'×0.8＝100×90×0.8＝7200公斤。

【解2】用机械利益解：作用在大活塞上的力为 P，作用在杠杆长臂端点上的力为 F，则这种水压机的总的机械利益为。它由两部分组成：一部分是杠杆的机被利益 A₁＝9/1＝9；另一部分是水压机的机械利益 A₂  。

        水压机的机械利益可以这样来求：设作用在小活塞上的力为 F'，则在不考虑无用阻力的情况下，我们可以根据第三章中已经讨论过的帕斯卡定律得出，或，式中左边 P/F' 就是水压机的机械利益 A₂，把题目中所列出的数字代入，得。

        因此，在不计无用阻力的情况下，水压机的总的机械利益为 A＝A₁·A₂＝9×100＝900。

        实际上，无用阻力是存在的，它的机械效率只有80%，所以这一个水压机的实际机械利益是ηA＝900×0.8＝720，因此P/F＝P/10＝720，∴ P＝7200公斤。

习题11-3

1、在杠杆一端距支点20厘米处有一个96公斤的阻力，在另一端距支点50厘米处有一个40公斤的平行的作用力。这时的杠杆能够作匀速转动。求杠杆的机械效率。【0.96】

2、在杠杆12厘米的臂上的作用力是150公斤，要想使杠杆作匀速转动，在另一40厘米的臂上要加上多大的平行力？ 【45公斤】

3、在杠杆24厘米的臂上的作用力是300公斤，要想使杠杆作匀速转动，要在另一臂上多少厘米处加上96公斤的力才行？力的方向是怎样的？【75厘米】

4、一个中国式杆秤，杆重3两，挂物的钩重1两，锤重10两，秤纽和秤钩相距2寸，杆的重心和钩相距6寸。问杆上刻度距钩多少寸的地方开始？又50两的刻度应刻在距钩多少寸的地方？【1寸，11寸】

5、有一个不太精确的天平（L₁≠L₂），如果将一个物体放在左盘时，称得其质量为120克，放在右盘时，称得其质量为125克。求此物体的确实质量和天平两臂 L₁和L₂ 的比值。【约122.45克，（L₁为右臂）】