体悟常见幂级数展开式的记忆方法

前言：

你是不是也常常记不住幂级数展开式？我也是。所以这几天在学习过程中不断体悟，通过观察逐渐发现这些常见的不同幂级数的展开式之间也是有一些联系的。也是这期专栏诞生的原因之一。

下述内容完全原创，是Up本人学习过程中自己总结的记忆方法，如果喜欢的话，大家可以点赞、投币、关注Up本人。大家的鼓励也是Up的创作动力。

一、思索出的记忆方法缘由和契机：

缘由：在day54和day55的学习过程当中，愈加发现这几个幂级数展开式的重要之处，特此想些好记的办法。

契机：

1、观察式子，发现artanx和sinx的幂级数展开似乎差不多

2、正因为day54和day55的学习过程当中，对于sinx的幂级数展开记忆深刻，所以借此好好分析各幂级数展开间的联系，从此使得记忆更加牢固。

二、展示常见幂级数展开式

三、常见幂级数展开式的记忆思路：（分为3组记忆）

第1组：以sinx为主线，牢记sinx幂级数展开，从而记住sinx,cosx和arctanx。(注意：n是从0开始的）

1.1

首先记牢sinx幂级数展开式

1.2

arctanx相比sinx而言，只不过在分母上从(2n+1)!变为(2n+1），其余不变

1.3

cosx相比sinx而言，就是在sinx的幂级数展开式两边求个导便得到了，记清楚sinx，cosx就是在其基础上求个导的事！

第2组：

以ln(1+x)为主线，牢记ln(1+x)幂级数展开，从而记住ln(1+x),ln(1-x),1/(1-x)^2,1/(1+x)^2。(注意：n是从1开始的）

Remark：从这里就可以思考课本中为什么是ln(1+x),ln(1-x)，而没有见过lnx在x0=0处展开。

2.1

首先记牢ln(1+x)幂级数展开式

2.2    

ln(1-x),在ln(1+x)幂级数展开式基础上就把-x代入x即可

2.3

1/(1-x)^2的幂级数展开式,就是把ln(1-x)求导两次,最后再加一个负号即可。

2.4

1/(1+x)^2的幂级数展开式，可以直接将1/(1-x)^2的幂级数展开式中的-x去代x,即可得到.与1/(1-x)^2的幂级数展开式相比，就多了一个(-1)^(n-1)罢了.

Remark:对于1/(1-x)^2的幂级数展开式，如果你求了两次导之后，你会发现你得到的式子为Σ(n-1)x^(n-2)(n从1开始)，此时再用n+1去代n,即n从0开始算，得到Σnx^(n-1)(n从0开始),不过这里n=0时的值为0,所以n就从1开始算起来。与这一组记忆的公式统一,n都是从1开始的。

第3组：可以有两种记忆方法(注意：n是从0开始的）

第3组记忆方法一：以e^x为主线，牢记e^x幂级数展开，从而记住e^x,[e^x+e^(-x)]/2,[e^x-e^(-x)]/2。

3.1.1

首先记牢e^x幂级数展开式

3.1.2

[e^x+e^(-x)]/2的幂级数展开式只不过是将e^x幂级数展开式中的n换成2n,其余不变。

3.1.3

[e^x-e^(-x)]/2的幂级数展开式只不过是将e^x幂级数展开式中的n换成2n+1,其余不变。

第3组记忆方法二：以sinx,cosx为主线，牢记sinx,cosx幂级数展开，从而记住[e^x+e^(-x)]/2,[e^x-e^(-x)]/2。

3.2.1

首先记牢sinx,cosx幂级数展开式

3.2.2

[e^x+e^(-x)]/2的幂级数展开式只不过是在cosx的幂级数展开式基础上少了一个(-1)^n

3.2.3

[e^x-e^(-x)]/2的幂级数展开式只不过是在sinx的幂级数展开式基础上少了一个(-1)^n

最后，还有一个最特殊的等比级数的幂级数展开，

只要注意n从0开始与从1开始不一样即可！！！