《几何原本》命题3.8【夸克欧氏几何】

命题3.8：

从圆外一点向圆凹弧上所引的线段中，过圆心的一条最长，在其余线段中，与过圆心的线段夹角较小的较长；从圆外一点向圆凸弧所引的线段中，延长线过圆心的一条最短，在其余线段中，在其余线段中，与延长线过圆心的线段夹角较小的较短，所引连线中只有两条相等的连线，它们各在最短连线的一边

已知：圆ABC，点D在圆ABC外，从点D向圆凹弧上引AD,ED,FD,CD，其中AD过圆心，∠ADE＞∠ADF＞∠ADC

求证：点D向圆ABC凹弧上所引的线段中，AD最长，ED＞FD＞CD

解：

求出圆心点M

（命题3.1）

连接ME，MF，MC，ML，MH

（公设1.1）

证：

∵圆ABC中，AM=EM

（定义1.15）

∴AM+DM=EM+DM

（公理1.2）

∵△DEM中，EM+DM＞ED

（命题1.20）

∴AM+DM＞ED

（公理1.1）

∵AM+DM=AD

（已知）

∴AD＞ED

（公理1.1）

同理可证，向凹弧上引的其它线段都小于AD

∵圆ABC中，EM=FM

（定义1.15）

∴EM+DM=FM+DM

（公理1.2）

∵∠DME＞∠DMF

（公理1.5）

∴ED＞FD

（命题1.24）

同理可证FD＞CD

已知：AD，ED，FD，CD交圆凸弧于点G，H，L，H

求证：点D向圆ABC凸弧上所引的线段中，

DG最短，DH＜DL＜DH

解：

连接MH，ML，MK

（公设1.1）

证：

∵点M是圆ABC的圆心

（已知）

∴MK=MG

（定义1.15）

∵△DMK中，MK+DK＞DM

（命题1.20）

∴DK＞DG

（公理1.3）

同理可证，向凸弧上引的其它线段都大于DG

∵点M是圆ABC的圆心

（已知）

∴MK=ML

（定义1.15）

∵DM公用，点K在△DML内

（已知）

∴MK+DK＜ML+DL

（命题1.21）

∴DK＜DL

（公理1.3）

同理可证DL＜DH

求：从点D向圆ABC上引一条线段使其等于DK

解：

在DM上以点M为顶点在DM另一侧作∠BMD=∠KMD，与圆ABC凸弧交点记为点B

（命题1.23）

求证：DB=DK，且所引线段中除DB外没有别的线段与DK相等

证：

∵点M是圆ABC的圆心

（已知）

∴MB=MK

（定义1.15）

∵DM公用，∠BMD=∠KMD

（已知）

∴△DMB≌△DMK，DB=DK

（命题1.4）

设所引线段中还有DN=DK，其中∠NDM＞∠BDM

∵∠NDM＞∠BDM

（已知）

∴DN＞DB

（已证）

∵DN=DK，DB=DK

（已知）

∴DN=DB

（公理1.1）

∴大的等于小的，这是不可能的

∴所引线段中除DB外没有别的线段与DK相等

证毕

此命题在《几何原本》中再未被使用