√2为什么是无理数？换种方式学初中数学#5 进阶篇1

本文部分内容参考《数学的源与流（第二版）》作者：张顺燕 高等教育出版社

前几篇我们已经了解了有理数和无理数，知道了形如p/q（p、q为整数，q≠0）的数是有理数、无理数都是无限不循环小数等等，也学习了有理数、无理数的计算

也许很多复杂的算式大家都会计算、证明，但问起一个简单粗暴的问题，很多人就懵了

为什么√2是无理数？

要解决这个问题，我们要从素数说起

素数，又叫质数，它的因数只有1和它本身，这个概念我们在小学就学过，2是最小的素数，素数的分布没有规律，或者说规律太复杂了，至今也没有简明的方式来表达。

接下来我们要说因式分解，因式分解，就是把一个数（或式子）分解为多个数（或式子）的乘积，显而易见，素数a的因式分解是1·a，1可以省略，就是a

但是其他的数就不一样了，如4，它分解后是2·2，有两个。如27分解后是3·9，但9还可以分解为3·3，也就是说分解出来的多个因数，都是素数，进一步地讲

“每一个大于1的整数，要么是素数，要么是若干素数的积”

于是算数基本定理就出现了：

“一个数的素因数分解式是唯一的”

另外探究一会就会发现，平方数分解后的素因数的数量是偶数

现在我们就可以来证明√2是无理数了

要证明√2是无理数，可以利用反证法，即证明√2不是有理数

又因为有理数可以表示为p/q的形式，我们直接假设√2＝p/q（p、q为整数）

两边同时乘以q，再平方：

2q²＝p²

如果√2是有理数的话，这个等式应该是成立的，又因为p、q是整数，所以q²、p²是平方数

平方数分解后的素因数个数是偶数，我们就假设q²的因子有2b个

但是q²前面有个2，也就是说，2q²有2b+1个因子

等式的性质，再加上算数基本定理——素因数分解式是唯一的，p²的因子个数也是2b+1，但p是整数啊，p²是平方数啊，因子个数应该是偶数啊，2b+1怎么看都不可能不是奇数（0除外，不然原式无意义）

这个等式两边互相矛盾了，这个等式是错误的，因此√2不能用有理数的形式来表示，它就不是有理数!

也许有点复杂，但多看几遍一定能懂

为了加深影响，大家模仿我这个方法，尝试证明

1.√7是无理数

2.√22是无理数

吧～

本篇结束，下一篇：浅谈进制

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