浅谈高等数学（7）

总想立刻达到最后一步的人，往往难以迈出第一步。

第七期  微分

       微积分是由“微分”与“积分”这两种互逆的运算构成，我们先对微分进行讨论。这个概念在之前事实上也提到过：我们曾用来表示变量的增量当时的极限，又用或来表示导数，这便是微分思想。现在，我们有必要更为深入地理解微分了。注意：本期内容可能与教材上有出入，只是方便读者理解，具体定义请见课本。

       我们先从两个求导的例子来开始。开始前请注意：是一个整体不可分割的概念，因此表示。

（1），求。

分析一下这个简单的推导过程。我们的思路可以大致归结为：（用某些方法）把分子拆成的同阶无穷小与的高阶无穷小之和。同阶无穷小除以得到一个关于的式子（例子中是）；高阶无穷小除以得到0。于是导数值也就是二者相加，又因为后者为0，故导数值就是前者。我们发现，一切可导的函数，都能将拆成的同阶无穷小与的高阶无穷小之和。我们不妨再看一个例子：

（2），求。

首先是按教材上的证明方法：

这个例子中的证明似乎与前述“拆项”的方法不同，而是采用了和差化积的三角变换。事实上，用“拆项”同样可以得出答案：

其中，，故是的同阶无穷小；，故

上述的两个例子都表明所谓“拆项”方法对可导函数的通用性。故有：

对此式进行变形，得

         （1）

这是一个绝对准确的式子。我们再引入一个例子：求的近似值。

先转成弧度制：所求式=。在这里，我们不得不舍弃一部分的精确，而在其中两处产生一定的误差。至于如何使误差减小乃至绝对消除，那是我们之后的任务。

（1）我们发现，是一个相对于非常微小的数，因此可以将看成，这里存在误差。即：

（2）在这里，我们仍遇到阻碍：这里的我们无法知道具体为何函数，但由于是高阶无穷小，因此相较于更为微小，以现有能力我们只能舍弃，这里存在值为的误差。即：

故而

事实上，准确值为0.507538……，与近似值已经非常接近了。在许多领域，如此精确的结果已经足够进行研发生产了，我们大胆的尝试是成功的。

通过这一例子，我们可整合出一般结论。在此之前，先引入概念：若一个函数在某点处的增量能表示为（1）的形式，则称函数在该点处可微，称为函数在该点处的微分。易知可微与可导是等价的。

为一确定常数；值得注意的是，它虽然是一个关于的函数，但这个函数与的具体数值无关，因此其对于来说是常数。

结论是：当非常小，且在处可微，则

可以看到，微分在近似计算中起到了尤为重要的作用，也可以用来进行误差估计，但在这里我就不详述了（之后可能会出数学杂谈）。微分的几何意义与导数完全相同，因此这里也不配图了，可以参见浅谈高等数学（3）。