Visualizing curved spacetime
首先要声明的是，下文中在欧几里得空间中画图，实际上是把时空流形的一个局部同胚到R^n上，所以保留下来的性质仅仅是双连续映射（同胚）意义下的“软”性质（拓扑性质），而并不保留诸如度量之类更加“硬”的性质。（而且这个同胚也只能是一个局部，比如史瓦西坐标只能覆盖事件视界外部）
（理论上来说应该同胚到R^4，但是R^4没法可视化，所以下面都是略去一个不变的空间维度变R^3，要么是选择一个时间切片，同样同胚到R^3）
所以，我们在欧几里得空间中看到一个史瓦西半径R，不代表它在GR中真的是一个长度为R的线段；欧几里得空间中画出一个粒子的二次曲线轨迹，也不代表它真的在一个这样二次曲线上运动（除非在渐进平直时近似这样理解，比如水星进动。对于平直时空，是有特殊的3+1的，所以对于渐进平直的弯曲时空，也可以认为有这种特殊的3+1，这是对无穷远处观测者来说的）；Kerr黑洞的事件视界同胚到R^n里是一个椭球面，不代表在时空流形里真的是一个“椭球”。当然，像坐标速度dr/dt之类的也仅仅是算算而已，并没有物理意义，也可以随意地超光速。况且，GR里的观测者理论是局部的。我们本来就不可能观测到一个轨迹的完整形状；我们只能看到这个轨迹“发出的光”在我们局部坐标系中的投影。
实际上可以这样想象：把这个R^n里的可视化图形同胚到另外一个扭曲的R^n图形（其实就是对时空换一个参数化），它依然是一个「正确的可视化」，并没有哪个同胚是最好的、最优越的。这就是广义相对论的广义协变性和背景无关性的要求（但是像上一篇文章里半经典的弯曲时空上的量子场论就依赖于不同的3+1，也就是说需要预设特定的时间参数化。一个完整的量子引力[也许？]应该是背景独立的）。所以我们应该从可视化里面抽出来的信息，应该是在这种“扭曲”下不变的拓扑性质。
但是，R^n里的图形既然和时空的某个部分是一一映射，其上面的一个点就可以对应真实时空中的一个事件点，曲线就是一条世界线。而像因果结构这种“软”性质是能够保留的。所以这样的可视化对于理解一些物理概念是有意义的。比如说，单单给你一个Kerr度规，根本看不出有什么特别的名堂，需要动手计算才能发现其中的特殊之处。但是如果在一个参数化下画出同胚到R^n上的“光锥场”，就可以很直观地理解这个度规是什么样的。
总而言之，并不应该在这些可视化图像的物理意义上产生误解。
Keywords:最大延拓史瓦西度规的结构，最大延拓Kerr度规的结构，Einstein-Rosen桥的结构。
之前一篇文章里给出了这样的MATLAB代码：
这个代码可以用来画一个坐标参数化下，同胚到R^3里面光锥的形状。这篇文章里，用这个代码画出了Kerr度规在antiverse里面奇点环周围的奇异时空（赤道面上）的可视化：
假如我们生活在这个antiverse里面，我们会看到一个暴露在外的奇点环。这个奇点环在强烈地转动并且拖曳着周围的时空。如果我们远离这个环，就照常生活。但是一旦接近这个环，时间就会比较错乱，很容易发生“自己遇到过去的自己”之类的事情。
要注意的是，不管是时间的t坐标还是空间的x、y坐标都可以认为没有意义。当然，特殊意义也是有的：这个坐标在远处就是Minkovski坐标；但是我们这里以它为例子考虑做一般的情况。从可视化里面抽出来的拓扑性质是什么？注意到离奇点环很近的地方世界线可以随着t坐标“倒退”，所以可以是“存在CTC”，也可以是“从一条世界线上分离出来的类时曲线可以回到这条世界线的前一个时间点”，也可以是更加复杂的一个故事。
下面以《前目的地》（Predestination，宿命论）为例，假设这个故事发生在antiverse的Kerr黑洞奇点环附近（虽然电影中是通过一个机器实现时间旅行的），来展示一下一个“扭曲下不变的性质”，也就是整部电影的故事发展。不管采用哪个参数化，这个故事发展都是不变的。
整个故事里有四个身份，用四种颜色表示。所有世界线都是类时曲线，没有跑出光锥之外。在另一种参数化下，整个图形可能会扭曲变形，但是和这个图是同胚的，整个故事仍然不变。不过因为度量性质没有保留下来，所以并不能通过曲线的长度看出各个故事之间时间的长短。这个例子目的在于强调拓扑性质这回事。
回到史瓦西黑洞。首先采取史瓦西坐标。假设史瓦西半径为1，画出光锥。
在远处，时空几乎平直，光锥也和Minkovski时空一样。接近事件视界时，光锥逐渐变窄，意味着粒子就算以多大的速度也没有办法再靠近事件视界一步。在事件视界内部，光锥完全翻了过来，意味着原先的空间轴和时间轴倒置了，随着时间发展，r只能减小，所有的未来都必须终结在奇点，没有可能跑出事件视界。需要注意的是这里因为事件视界是一个坐标奇点，所以内外部不是同一个坐标覆盖着的。这张图只是把时空流形的两个部分分别同胚到R^3里面，然后拼接起来，并不代表这两个部分之间的关系。比如分析因果结构的时候，内外部要分开来看，内部的所有因终结于奇点，外部的因果结构和Minkovski时空一样。
史瓦西时空的外部可以被史瓦西坐标覆盖，从而同胚到R^4上。但是我们还可以选取别的坐标参数化，把这个覆盖范围变大。完整的史瓦西时空可以用Kruskal坐标覆盖，具体表达式为：
它分为黑洞内部、白洞内部和两个渐进平坦的时空（宇宙/平行宇宙）。这个坐标（的和史瓦西坐标重合的部分）和史瓦西坐标之间的对应关系如下图的等值线所示。
这个图只有一个空间维度。不过我们的可视化可以放进两个空间维度（相当于在黑洞的赤道面上运动）。假设史瓦西半径为1。过去奇点和未来奇点是双叶双曲面，事件视界是圆锥。
但是要注意的是，这个三维参数化仅仅是整个Kruskal时空的一半，因为没有办法表示出R<0的部分。事件视界外面是渐进平坦时空，里面是“一半”的黑洞和“一半”的白洞，它们的另一半在R<0里面。所以完整的（1+2维）Kruskal时空的拓扑结构应该是两个这样的R^3通过z轴粘在一起。
假想Kruskal流形上有一条连续的曲线（没有要求类时），它从我们的渐进平直时空进入黑洞的事件视界，然后穿出来进入另一个“平行时空”内。当我们在参数化坐标里观看这个曲线的轨迹时，会发现这条曲线进入黑洞，跑到前面图里面的z轴上，然后突然消失了，进入了"半径小于0"的另一个地方。看起来似乎很诡异。
实际上这件事情并不玄幻，我们可以想象一个曲面，其中一半用一个坐标参数化，另一半用另一个坐标参数化。当前一半的粒子跑出去之后，前一半的坐标就没办法抓住它的位置了，所以它就在这个坐标里凭空消失了。但是广义相对论是背景无关的，所以这个消失，或者“进入另一个时空”，仅仅是参数化下面的假象罢了。从整个流形上看，它就是一条好好的曲线，没有突然出现或者突然消失。假如用一个覆盖全轨迹的坐标参数化，就没有任何诡异的事情发生。
Kruskal时空的这个例子可以让我们更理解流形定义中“局部被坐标覆盖”的意思。
进一步画出这一半Kruskal时空的光锥：
光锥很普通，基本就是45度的正光锥。我们考虑有质量粒子的运动，它可以固定在一个r，或者随意绕圈，或者进入事件视界。不过进入之后就出不来了。而白洞内的粒子则不得不出来，渐进平直时空的粒子也不可能进入白洞。
如果我们试图进入平行宇宙，必须在这个坐标下穿过事件视界，到达R=0的地方，然后进入另一个R<0的坐标。但这时候我们发现自己在事件视界里面，无法逃出去，所以终究还是没有办法进入另一个渐进平坦的时空。不过如果恰好平行宇宙里也有人跑进这个黑洞里的话，还是有机会相遇的，只不过早晚要落入奇点罢了。
因此可以看出，虽然这两个平行宇宙之间在拓扑上是相连的（通过黑洞/白洞，这个拓扑上连接两个渐进平直时空的部分流形有时也管它叫虫洞），但是任何粒子或者信息都无法在两者之间传送，所以二者在因果上是完全隔绝的（「拓扑相连，因果隔绝」）。假如我们真的在这样一个Kruskal时空里面，我们可以推测，整个流形上有着和我们镜像的另一个宇宙（或者科幻一点说，某个Blick Winkel可以看到整个流形的结构。我们现在采取的就是Blick Winkel的视角），但是我们不可能和它们产生任何关联。这时候就体现出“可观测宇宙”这个概念和全体宇宙的区别了。整个宇宙可以是这整个流形，但是可观测宇宙只有这个流形的一半里面的一个光锥。
当然我们也可以看Penrose图（它是共形变换，所以保持了共形结构，比拓扑结构要“硬”一点）：
可以看到不同渐进平直时空的粘连。
有一个所谓Einstein—Rosen桥的东西，其实就是把前面Kruskal时空按照一个固定的T（比如T=0）做切片得到的弯曲空间。这个弯曲空间是两个渐进平直的空间连在一起，也就是最初意义上的虫洞。其实我们前面已经知道两个时空是拓扑上相连的，所以这个虫洞的存在并不意外。只不过首先这个T切片本身就意义不明，单纯是为了展示这个三维结构而已；况且两个时空本身就是因果隔绝的，如果按照这个度规里面T的发展来看，就是虫洞突然出现然后消失，并不能支持粒子或者信息穿过去。
不过我们未必要局限在Kruskal时空，可以单纯假定这样一个虫洞稳定存在的流形，来考察一下它应该是什么样子的结构。
切片之后这个三维空间的度规为：
在远处，它就是平直空间。但是靠近虫洞半径（1）的时候会有坐标奇异性（并不是真正的奇点），很小的dr会对应很大的路程。不过好在并没有无限长的路程出现（积分是收敛的，比如r从1到2的积分是sqrt(2)-1/2*log((sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1))=2.2956，稍微变长了一点但是不是很夸张）。如果把dr^2的系数改成平方，那从r=2走到r=1就要经过无穷长的路程，打个比方就是无下限咒术。
这个坐标（r>1部分）只覆盖了虫洞流形的一半。另一半的形状是完全一样的（渐进平坦），可以用另一个坐标（r'>1）来覆盖。二者在r=r'=1的地方粘合在一起。所以对于无穷远处的观测者来说，虫洞就是一个半径为1的球体，可以顺利地通过有限路程之后穿过它进入另一个渐进平坦的区域。这样Einstein-Rosen桥的结构我们就完全清楚了。在拓扑上，就是两个R^3/B(0,1)在挖去球的球面上粘合起来。
把二维虫洞嵌入到三维就是这样一个粘合起来的结构。
感兴趣的读者还可以去找一个覆盖“桥”部分的坐标。
三维中模拟一下就是：
Kruskal时空的虫洞是不稳定的。在GR中可以证明需要负能量密度的物质才能使虫洞稳定，但是在R^2引力（f(R)的一种）中可以稳定存在不需要负能量物质的虫洞。
补充一下，前面的说法不够convincing。对于这个度规：
不是我说它能拼起来就能拼起来的。我们得说明它应该怎么拼起来。即：在流形上找到一个与前两个坐标网都有重合的坐标网，作为一个胶带把二者粘起来。
首先，我们可以说明r=1是坐标奇点而不是真正的奇点。这点可以通过计算Ricci标量证明，它是有限的。
其次，我们给出一个拼接方式。对于两个空间的坐标，作变换r=1+h^2，则两个度规可以连在一起：
这里的h坐标表征了离虫洞球面的距离，正数代表在第一个空间，负数代表在第二个空间。这个度规就没有任何奇异性了，并且很自然地通过正负号来区别两个空间。假如我站在虫洞的边缘上，我就可以认为自己观察到的周围空间是这个样子的，并且可以平稳地经过虫洞进入另一个空间。虫洞的存在并不与局部不超光速矛盾。
https://www.spacetimetravel.org/上通过计算零测地线给出了穿越虫洞过程的可视化。它使用的度规为
其实只是把前面的度规略去一个1+h^2。假设德国的Tübingen大学员工制造了一个连接Tübingen大学物理所和法国城市滨海布洛涅的一片沙丘的虫洞，以方便吃午饭。为了更加明显地显示出空间的扭曲，图中显示出了一个“立方体框架”，或者可以看成方便人爬过虫洞的架子（准确来说是空间里的几条测地线组成的框架）。因为空间的扭曲和光线的扭曲，这个框架看起来也是被扭曲过的。Tübingen大学里的12条边显示为黄色，“对角线”显示为绿色；滨海布洛涅的12条边显示为蓝色，“对角线”和Tübingen大学的立方体相连。在虫洞内部则有一个红色的小立方体，坐落在绿色对角线上。
从Tübingen大学来看，虫洞是这样的：
有很明显的光线扭曲。黄色立方体的形状还是有的，并且对角线往里面伸，遇到红色小立方体，这部分都非常欧几里得。但是绿色对角线继续往里面伸就不见了，进入了滨海布洛涅。虫洞看起来像一个带有镜面的球体。
在滨海布洛涅看来，则是一个蓝色立方体：
对角线同样连接着一个小红色立方体，不过再往里面延伸就进入Tübingen大学了。蓝色和黄色立方体共享这8条“对角线”，这是非常不欧几里得的。
当我们从Tübingen大学进入虫洞，愈发接近滨海布洛涅：
在虫洞的中间，红色立方体会“膨胀”成一个无限大的平面：
这个平面的两边分别是极度扭曲的Tübingen大学景色和滨海布洛涅景色：
上面是滨海布洛涅，下面是Tübingen大学。
穿过去之后，虫洞看起来又只是个普通的球：
从下往上看：
接下来考虑一下Kerr黑洞。从前面的Penrose图可以看到完整的流形，但是我们的一个坐标只能覆盖其中的一小部分。比如说，Boyer-Lindquist坐标覆盖的就是r>0的部分（渐进平直时空+Kerr黑洞内部，不包括所谓的antiverse）：
另外一种参数化是直角坐标形式的，称为Kerr-Schild坐标，就是把上面的r作为椭圆坐标。Kerr-Schild坐标的特殊之处在于它是渐进平直的。下面就用Kerr-Schild坐标去覆盖一部分的流形，然后同胚到R^4上观察。
首先，我们把Kerr-Schild坐标取一个时间t做切片，得到一个空间，把它同胚到R^3。也就是观察Kerr黑洞的“形状”。
首先来看这个参数化下Kerr黑洞的一些特征。首先是奇点。奇点要求\rho=0，所以它是一个z=0平面上的半径为a的圆环。
然后是稳态极限面（无限大红移面）g_{tt}=0。它的形状为：
这是一个形状不规则的曲面。
事件视界则为g_{rr}=infty，即：（有内视界和外视界，就像前面Penrose图所示）
其实这完全就是一个椭球面。
假定黑洞参数\mu=2,a=1。则这个三维切片在参数化下同胚到R^3就是：
外面这层镂空的面是稳态极限面，中间蓝色椭球的是外事件视界，里面黄色的椭球是内事件视界，最里面红色的环就是奇点环。
需要注意的是，具体的曲面方程并没有物理意义，因为图中仅仅保留了拓扑结构，比如四个对象的包裹关系。硬要说物理意义的话，它就是相对“无穷远处观测者”的黑洞形状。
如何“穿越”到antiverse？antiverse是r<0的地方，在这个坐标里面是没有的（覆盖不到），但是当然要经过r=0。r=0就是奇点环所在的整个圆盘。我们当然不能碰到奇点环，所以得避开它，从中间穿过去。对于无穷远处的人来说，这个旅行者是“突然消失在”圆盘上的。但是如前所述，这只是参数化带来的假像，实际上旅行者只不过是平滑地进入了流形中Kerr-Schild坐标覆盖不到的部分。对于旅行者来说，他时时刻刻局部的坐标仍然是一个局部Minkovski坐标，而且在进入内视界之后，可以采取一个覆盖内视界和antiverse的参数化，所以他并不会感受到所谓的“撞在圆盘上”。Kerr-Schild坐标覆盖的时空，通过这个圆盘和另一个时空连接。这个过程从时空流形的观点，或者叫做“Blick Winkel”观点去看，就不会有任何理解上的困难。
之前讨论的史瓦西黑洞在拓扑上连接了两个渐进平坦时空，可以叫做虫洞。但是这个虫洞并不能连接因果关系。现在的Kerr黑洞也是拓扑上连接了两个渐进平坦时空，并且来自原宇宙的物质和信息是可以传送过去到达antiverse的，因此可以称为一个名副其实的虫洞。
最后画一下Kerr黑洞各个点处的光锥。
远离黑洞的时候，光锥就跟Minkovski时空一样。接近的时候，光锥逐渐向theta方向倾斜，因为时空被旋转的黑洞拖曳着。进入稳态极限面之后，光锥完全朝旋转方向倒下（图中没有画出能层中的光锥），此时粒子无论用多大的力都会被迫随着黑洞转动（但是并没有裸露奇点环附近倾斜得那么极端，所以并不会产生CTC），“时间和角度方向空间互换”。再往里面走，穿过事件视界，光锥则朝r减小的方向倒下，“时间和径向空间互换”，被迫穿过两个事件视界。之后粒子并不会被迫撞上奇点，而是可以进入新的渐进平直时空，但这就不是这个坐标系里面的事了。
为了更加完整地看清楚整个Kerr度规的结构，我们希望有一个类似Kruskal坐标的解析延拓，把Penrose图里面更多部分覆盖上。这样我们也能和史瓦西度规一样，看清楚不同部分的渐进平直时空是如何粘连起来的。这个类似Kruskal坐标的东西可以在Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric一文中找到。这个具体的参数化很麻烦，这里就不去具体画光锥了，只是定性看一下各个时空是如何粘连起来的。
首先，和Kruskal坐标类似，有一个K坐标(U,V)，它覆盖的是我们的时空、Kerr黑洞外视界和内视界之间、Kerr白洞的外视界和内视界之间、以及平行宇宙。
(U,V)坐标略去一个角度维度之后，可以同胚到三维。但是和Kruskal坐标一样，需要用两个R^3粘起来，一个是U<0的部分，一个是U>0的部分。每个R^3和Kruskal坐标类似，有一个圆锥表示外视界，但是内视界在V=+-无穷远处。当然也没有覆盖到奇环。
光锥也是类似的，如果进入外视界就无法逃出了。在靠近外视界的地方，光锥会受到拖曳，朝着角度方向倾斜：
两个R^3通过U=0这条轴粘在一起。同样，拓扑上相连，但是因果上隔绝，虽然也存在Einstein-Rosen桥，但是粒子和信息无法通过。
K坐标没有覆盖到antiverse。我们还需要一个E坐标(r,t)，它类似史瓦西黑洞的Eddington-Finkelstein超前/推迟坐标，覆盖了我们的宇宙、Kerr黑洞（或者白洞，取决于超前还是推迟）的内外视界之间，以及内视界内部直到antiverse。
如果把它略去一个角度方向同胚到R^3，同样需要两个R^3粘连。一个是r>0的部分，即“没有穿越奇环”；另一个是antiverse。就像Eddington-Finkelstein超前/推迟坐标一样，这个E坐标其实是把Boyer-Lindquist坐标的内外事件视界的坐标奇异性给去掉了，然后把视界内外连在一起。此时内外视界和奇环都是一个圆柱（稳态极限面也是类似于圆柱的一个柱体）：
奇环内部不在这个坐标化范围里。
此时的光锥又是如何的呢？画出来是：
可以随意地进入事件视界，但是进入之后就出不来了。这个图没有表现出角度方向的参照系拖曳。
剩下的antiverse在r<0的部分，只有一个裸露的奇点环，没有事件视界包裹着。光锥在一开始就给出来了：
所以我们知道了这四个部分的结构。整体的Kerr度规就是把无数个这种四个部分连接起来。分别把这四个部分叫K,K'（平行世界），E,E'（antiverse）。首先，K和K'通过U轴拼接起来。然后，E和E'通过奇点环r=0拼接起来。E和K的重合部分是我们的宇宙+Kerr黑洞的内外事件视界之间，这个重合部分粘起来。E和K'的重合部分则是平行世界的宇宙+Kerr黑洞的内外事件视界之间，这个重合部分粘起来。把E和E‘都镜像到平行世界，得到\bar{E}和\bar{E}'，再同样和上面的流形粘起来。再把RE和RE'（推迟坐标）以及其镜像粘上去，就可以构成一个完整的“链条”重复结构。这些重复结构每个都带有"黏性末端"（借用限制酶的术语），所以可以无限重复地粘连起来。这就是Kerr黑洞完整的延拓。
总结一下本文，其实就是微分流形定义里面三个要点：局部坐标，与欧几里得空间同胚，转移映射的相容性。可以在GR里理解这几个要点的物理意义：可视化只保留了一部分流形的软性质；1+2Kruskal时空的两个部分同胚于R^3，通过z轴粘连，粒子在一个坐标里似乎能“消失”但其实只是在平滑地运动；不同坐标覆盖的渐进平直时空，其坐标变换应是C^\infty的。
