经济学小贴士（118）生产函数（1）

学习完帮助我们衡量长期经济的工具后，我们现在就来到了宏观经济中第二个重要的知识点——生产函数（Production Function）。首先，我们要明确的是，生产函数是量化生产的增值的函数。其次，生产函数是表示生产的投入结合起来以生产产出的函数，这种关系类似于下图：

因此，生产函数就是一个基于生产要素的函数：

这是一个简化版的生产函数，其中Y表示产量（Output），A表示生产技术（Idea or Technology），K代表物质资本（Capital），L代表劳动量（Labor）。在下文，我们将，也就是生产技术固定，看作常量。因为生产技术是生产函数的外生因素，它每时每刻都在变化。因此在一开始的学习中，我们先假设是我们已知的参数，方便我们深入学习。所以在这一部分，我们只讨论K和L的变化。对于之后的经济模型学习，我们将会使用柯布—道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas Production Function)。这种生产函数认为:

接下来，就让我们看看几个重要的生产函数的性质。

边际产量

边际产量（Marginal Product）的定义是，在其他条件相同的情况下，增加一单位的生产因素所增加的产出。所以，在柯布—道格拉斯生产函数生产函数中，我们就有两个边际产量：劳动边际产量(Marginal Product of Labor MPL)和资本边际产量(Marginal Product of Capital MPK)。拿MPL来举例，我们假设

那么，生产函数就变成了

因此，我们可以根据这张图来具体量化生产函数:

我们可以发现，L=1的时候，MPL=1-0=1；L=2时，MPL=1.59-1=0.59; L=3时，MPL=2.08-1.59=0.49; L=4时，MPL=2.52-2.08=0.44。而且这条曲线的也是逐渐手收敛的。因此，这就引出了第二个重要性质——边际产量递减。

边际产量递减

边际产量递减（Diminishing Marginal Product）的定义是在其他条件相同的情况下，增加一单位的生产因素所增加的产出是不断减少的。针对资本和劳动量这两个变量，如果我们假设他们的每日增量任意小，那么这种假设和他们的生产函数的偏导数是一致的。因为边际产量每增加一单位的生产因素所增加的产出，所以我们可以理解为边际产量相当于生产因素的变化率，因此边际产量就是这种生产因素在生产函数上的导数。所以，

从这两个公式我们也可以看出来，MPL依赖于资本，MPK也依赖于劳动量，同时他们都是正相关的关系。如果我们增加一单位的生产因素，我们会让另一种生产因素的边际产量增加。让我们举一个简单的例子，假设大桥君的豆沙面包店里有大桥君和阿陈两位工人和一个烤箱。每次大桥君在做完面包之后需要等阿陈的面包烤好了之后才能考自己的面包。假设现在大桥君又买了一个烤箱，增加了资本K。这下两个人就可以人手一个烤箱，劳动量的边际产量就成了之前的一倍。